Pochodna funkcji wielu zmiennych po parametrze?

[musialmi]

Mam sobie funkcję wielu zmiennych \(\displaystyle{ f \colon \RR^d \to \RR}\). Jaki jest wzór na pochodną \(\displaystyle{ \frac{d}{dh} f\left( \frac{x}{h}\right) = \frac{d}{dh} f \left( \frac{1}{h} (x_1, \ldots, x_d)\right)}\)?

[bartek118]

Zgodnie z regułą łańcucha
\(\displaystyle{ \frac{d}{dh} f \left( \frac{x}{h} \right) = \sum_{k=1}^d \frac{\partial f}{\partial x_k} \left( \frac{x}{h} \right) \left( - \frac{x_k}{h^2} \right) = - \frac{1}{h^2} \sum_{k=1}^d x_k \frac{\partial f}{\partial x_k} \left( \frac{x}{h} \right) = -\frac{1}{h^2} \left\langle \nabla f \left( \frac{x}{h} \right), x \right\rangle}\)

[musialmi]

Dziękuję. Liczę dwiema metodami i dostaję różne wyniki. Pierwsza metoda jest intuicyjna na podstawie pochodnej funkcji jednej zmiennej, ale może nie działa Mógłbyś mi powiedzieć?

Moja funkcja to \(\displaystyle{ K(x)=\exp \left(\frac{-||x||^2}{2}\right)}\), a do policzenia jest \(\displaystyle{ \frac{d}{dh} K\left( \frac{x}{h} \right)=\frac{d}{dh} \exp \left(\frac{-||x/h||^2}{2}\right) = \frac{d}{dh} \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right).}\)

Pierwsza metoda to potraktowanie \(\displaystyle{ ||x||^2}\) jako parametru i liczenie pochodnej po \(\displaystyle{ h}\) jak dla funkcji jednej zmiennej:

\(\displaystyle{ \frac{d}{dh} \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right)=\exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right) \cdot \frac{-(-2)||x||^2}{2h^3} = \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right) \cdot \frac{||x||^2}{h^3}.}\)

Druga metoda to twoja (korzystam z pierwszej wersji wzoru, który podałeś).

\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x_k} K(x)= \frac{\partial}{\partial x_k} \exp \left(\frac{-||x||^2}{2}\right) = \exp \left(\frac{-||x||^2}{2}\right) \cdot \frac{-2}{2}||x|| \cdot 2x_k = -\exp \left(\frac{-||x||^2}{2}\right) 2||x||x_k.}\)

Dla argumentu \(\displaystyle{ x/h}\) pochodna przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x_k} K(x/h) = \frac{\partial}{\partial x_k} K(x_1/h, x_2/h, \ldots, x_d/h) = - \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right) 2 \cdot \frac{||x||}{h} \cdot \frac{x_k}{h}.}\)

I teraz wstawiamy w twój wzór.

\(\displaystyle{ \frac{d}{dh} K \left( \frac{x}{h} \right) = \sum_{k=1}^d \frac{\partial K}{\partial x_k} \left( \frac{x}{h} \right) \left( - \frac{x_k}{h^2} \right) = \sum_{k=1}^d - \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right) \cdot \frac{2||x||x_k}{h^2} \cdot \frac{-x_k}{h^2} = \\
= \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right) \frac{2||x||}{h^4} \sum_{k=1}^d x_k^2 = \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right) \frac{2||x||}{h^4} \cdot (||x||^2) = \exp \left(\frac{-||x||^2}{2h^2}\right) \frac{2||x||^3}{h^4}.}\)

Pierwsza metoda nie działa, czy gdzieś się mylę?