Znajdź globalne minimum
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Znajdź globalne minimum
Proszę o pomoc w takim zadaniu
Niech \(\displaystyle{ A:=\{(x, y, z) \in \RR^3: 3x^2 - y^2 + z^2 - 1 = 0\}}\) i \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \RR}\) zdefiniowane przez \(\displaystyle{ f(x, y, z) := x^2 + y^2 + z^2.}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ f}\) posiada globalne minimum w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) i oblicz \(\displaystyle{ \min f(A)}\). Jakie geometryczne zagadnienie rozwiązałeś?
Niech \(\displaystyle{ A:=\{(x, y, z) \in \RR^3: 3x^2 - y^2 + z^2 - 1 = 0\}}\) i \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \RR}\) zdefiniowane przez \(\displaystyle{ f(x, y, z) := x^2 + y^2 + z^2.}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ f}\) posiada globalne minimum w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) i oblicz \(\displaystyle{ \min f(A)}\). Jakie geometryczne zagadnienie rozwiązałeś?
Ostatnio zmieniony 24 maja 2018, o 15:49 przez rzeznikzblaviken, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Znajdź globalne minimum
Obliczyłem minimum funkcji \(\displaystyle{ f(x, y, z)}\), wyszło mi \(\displaystyle{ P=(0, 0, 0)}\). Ale nie wiem co z tym dalej zrobić.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Znajdź globalne minimum
No to można stwierdzić bez liczenia, ale Ty masz znaleźć minimum na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) a nie gdziekolwiek. Spróbuj na przykład z mnożników Lagrange'a.
@Edit Rzeczywiście. Nie zwróciłem uwagi, że te warunki są tak dobrane, że wychodzi funkcja jednej zmiennej. Dobre spostrzeżenie.
@Edit Rzeczywiście. Nie zwróciłem uwagi, że te warunki są tak dobrane, że wychodzi funkcja jednej zmiennej. Dobre spostrzeżenie.
Ostatnio zmieniony 24 maja 2018, o 15:00 przez Tmkk, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Re: Znajdź globalne minimum
Zrobiłem inną metodą, ale wyszło mi, że nie ma ekstremów.
\(\displaystyle{ z(x, y) = \sqrt{1-3x^2+y^2}}\) i \(\displaystyle{ z(x, y) = -\sqrt{1-3x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ F(x, y, \sqrt{1-3x^2+y^2}) = F(x, y, -\sqrt{1-3x^2+y^2})= -2x^2+2y^2+1}\)
\(\displaystyle{ f_x=-4x}\)
\(\displaystyle{ f_y =4y}\)
\(\displaystyle{ f_{xx} = -4}\)
\(\displaystyle{ f_{yy} = 4}\)
\(\displaystyle{ f_{xy} = f_{yx} = 0}\)
\(\displaystyle{ det(H_f(0,0)) = \lambda^2-16}\)
\(\displaystyle{ \lambda = 4 \wedge \labda = -4}\)
Czyli, że macierz jest nieokreślona, czyli nie ma ekstremów.
-- 24 maja 2018, o 15:51 --
\(\displaystyle{ z(x, y) = \sqrt{1-3x^2+y^2}}\) i \(\displaystyle{ z(x, y) = -\sqrt{1-3x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ F(x, y, \sqrt{1-3x^2+y^2}) = F(x, y, -\sqrt{1-3x^2+y^2})= -2x^2+2y^2+1}\)
\(\displaystyle{ f_x=-4x}\)
\(\displaystyle{ f_y =4y}\)
\(\displaystyle{ f_{xx} = -4}\)
\(\displaystyle{ f_{yy} = 4}\)
\(\displaystyle{ f_{xy} = f_{yx} = 0}\)
\(\displaystyle{ det(H_f(0,0)) = \lambda^2-16}\)
\(\displaystyle{ \lambda = 4 \wedge \labda = -4}\)
Czyli, że macierz jest nieokreślona, czyli nie ma ekstremów.
-- 24 maja 2018, o 15:51 --
Sorry, tam powinno być \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\) już zmieniłem.a4karo pisze:Mnożnik Lagrange'a to w tym zadaniu armata.
Co oznacza warunek \(\displaystyle{ z^2-1=0}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 22206
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Znajdź globalne minimum
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) opisuje kwadrat odległości punktu od początku układu. Jest mniej więcej oczywiste, że w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) znajdzie się punkt, który jest najbliżej początku układu, więc minimum musi być.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Znajdź globalne minimum
Skoro \(\displaystyle{ 3x^2 - y^2 + z^2 - 1 = 0}\), to mamy
\(\displaystyle{ 3x^2+z^2=1+y^2\ge 1}\) oraz
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4x^2+2z^2-1=\frac 4 3\left( 3x^2+z^2\right)+\frac 2 3z^2-1\ge \\ \ge \frac 4 3+0-1=\frac 1 3}\)
z równością dla
\(\displaystyle{ (x,y,z)=\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, 0, 0\right), \ (x,y,z)=\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, 0, 0\right)}\)
Korzystałem tylko z warunków zadania i z nieujemności kwadratu liczby rzeczywistej, więc rozwiązanie na poziomie podstawówki (a nie, tam pewnie już nie ma potęgowania ).
No ale znacznie bardziej kształcące wydaje mi się rozwiązanie z użyciem metody mnożników Lagrange'a.
\(\displaystyle{ 3x^2+z^2=1+y^2\ge 1}\) oraz
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4x^2+2z^2-1=\frac 4 3\left( 3x^2+z^2\right)+\frac 2 3z^2-1\ge \\ \ge \frac 4 3+0-1=\frac 1 3}\)
z równością dla
\(\displaystyle{ (x,y,z)=\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, 0, 0\right), \ (x,y,z)=\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, 0, 0\right)}\)
Korzystałem tylko z warunków zadania i z nieujemności kwadratu liczby rzeczywistej, więc rozwiązanie na poziomie podstawówki (a nie, tam pewnie już nie ma potęgowania ).
No ale znacznie bardziej kształcące wydaje mi się rozwiązanie z użyciem metody mnożników Lagrange'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Re: Znajdź globalne minimum
Ok rozumiem.
Ale jak zrobić to metodą mnożników Lagrange'a?
Dochodzę do tego:
\(\displaystyle{ F(x, y, z, \lambda) = x^2+y^2+z^2-3\lambda x^2+ \lambda y^2 - \lambda z^2 + \lambda)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F_x = 2x-6\lambda x \\
F_y = 2y + 2\lambda y \\
F_z = 2z - 2\lambda z \\
F_{\lambda} = -3x^2 + y^2 - z^2 + 1 \\
\begin{cases}
2x-6\lambda x = 0 \\
2y + 2\lambda y = 0 \\
2z - 2\lambda z = 0 \\
-3x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0
\end{cases}}\)
No i nic z tego nie wychodzi.
Ale jak zrobić to metodą mnożników Lagrange'a?
Dochodzę do tego:
\(\displaystyle{ F(x, y, z, \lambda) = x^2+y^2+z^2-3\lambda x^2+ \lambda y^2 - \lambda z^2 + \lambda)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F_x = 2x-6\lambda x \\
F_y = 2y + 2\lambda y \\
F_z = 2z - 2\lambda z \\
F_{\lambda} = -3x^2 + y^2 - z^2 + 1 \\
\begin{cases}
2x-6\lambda x = 0 \\
2y + 2\lambda y = 0 \\
2z - 2\lambda z = 0 \\
-3x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0
\end{cases}}\)
No i nic z tego nie wychodzi.
Ostatnio zmieniony 24 maja 2018, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Znajdź globalne minimum
Ten układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-6\lambda x = 0 \\ 2y + 2\lambda y = 0 \\ 2z - 2\lambda z = 0 \\ -3x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0 \end{cases}}\)
wygląda OK. Teraz zapisz
\(\displaystyle{ 2x-6\lambda x=2x(1-3\lambda), \ 2y+2\lambda y=2y(1+\lambda), \ 2z-2\lambda z=2z(1-\lambda)}\)
Kiedy iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zero? Masz do rozważenia trochę przypadków.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-6\lambda x = 0 \\ 2y + 2\lambda y = 0 \\ 2z - 2\lambda z = 0 \\ -3x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0 \end{cases}}\)
wygląda OK. Teraz zapisz
\(\displaystyle{ 2x-6\lambda x=2x(1-3\lambda), \ 2y+2\lambda y=2y(1+\lambda), \ 2z-2\lambda z=2z(1-\lambda)}\)
Kiedy iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zero? Masz do rozważenia trochę przypadków.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Re: Znajdź globalne minimum
Ok, to wiem, ale wychodzi:
\(\displaystyle{ x = 0 \vee \lambda = 1/3}\)
\(\displaystyle{ y = 0 \vee \lambda = -1}\)
\(\displaystyle{ z = 0 \vee \lambda = 1}\)
\(\displaystyle{ x = 0 \vee \lambda = 1/3}\)
\(\displaystyle{ y = 0 \vee \lambda = -1}\)
\(\displaystyle{ z = 0 \vee \lambda = 1}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Znajdź globalne minimum
I w czym dalej tkwi problem? No to jest łącznie chyba osiem przypadków, trochę dużo. Ale można to nieco przyspieszyć.
Jest prosty przypadek \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\), który nie spełnia w ogóle warunku z ostatniego równania \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\).
Wobec tego zostają do rozważenia przypadki \(\displaystyle{ \lambda=\frac 1 3, \ \lambda=-1, \ \lambda=1}\)
i w każdym z tych przypadków podukład
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-6\lambda x = 0 \\ 2y + 2\lambda y = 0 \\ 2z - 2\lambda z = 0 \end{cases}}\)
otrzymanego układu równań jest prościutkim układem równań liniowych, trzeba tylko na koniec wstawić do warunku \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\) i sprawdzić, czy to może zajść.
Jest prosty przypadek \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\), który nie spełnia w ogóle warunku z ostatniego równania \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\).
Wobec tego zostają do rozważenia przypadki \(\displaystyle{ \lambda=\frac 1 3, \ \lambda=-1, \ \lambda=1}\)
i w każdym z tych przypadków podukład
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-6\lambda x = 0 \\ 2y + 2\lambda y = 0 \\ 2z - 2\lambda z = 0 \end{cases}}\)
otrzymanego układu równań jest prościutkim układem równań liniowych, trzeba tylko na koniec wstawić do warunku \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\) i sprawdzić, czy to może zajść.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz
Re: Znajdź globalne minimum
No, ale zawsze wyjdzie \(\displaystyle{ 0.}\)
np. dla \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ 2x - 6 \cdot \frac{1}{3} x= 0 \\
x = 0 \\
2y + 2 \cdot \frac{1}{3} y = 0 \\
y = 0 \\
2z - 2 \cdot \frac{1}{3} z = 0 \\
z = 0}\)
np. dla \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ 2x - 6 \cdot \frac{1}{3} x= 0 \\
x = 0 \\
2y + 2 \cdot \frac{1}{3} y = 0 \\
y = 0 \\
2z - 2 \cdot \frac{1}{3} z = 0 \\
z = 0}\)
Ostatnio zmieniony 28 cze 2018, o 20:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 kwie 2018, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niemcy
- Podziękował: 1 raz