Znajdź globalne minimum

[rzeznikzblaviken]

Proszę o pomoc w takim zadaniu

Niech \(\displaystyle{ A:=\{(x, y, z) \in \RR^3: 3x^2 - y^2 + z^2 - 1 = 0\}}\) i \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \RR}\) zdefiniowane przez \(\displaystyle{ f(x, y, z) := x^2 + y^2 + z^2.}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ f}\) posiada globalne minimum w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) i oblicz \(\displaystyle{ \min f(A)}\). Jakie geometryczne zagadnienie rozwiązałeś?

[Tmkk]

Gdzie pojawia się problem?

[rzeznikzblaviken]

Obliczyłem minimum funkcji \(\displaystyle{ f(x, y, z)}\), wyszło mi \(\displaystyle{ P=(0, 0, 0)}\). Ale nie wiem co z tym dalej zrobić.

[Tmkk]

No to można stwierdzić bez liczenia, ale Ty masz znaleźć minimum na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) a nie gdziekolwiek. Spróbuj na przykład z mnożników Lagrange'a.

@Edit Rzeczywiście. Nie zwróciłem uwagi, że te warunki są tak dobrane, że wychodzi funkcja jednej zmiennej. Dobre spostrzeżenie.

[a4karo]

Mnożnik Lagrange'a to w tym zadaniu armata.
Co oznacza warunek \(\displaystyle{ z^2-1=0}\)?

[rzeznikzblaviken]

Zrobiłem inną metodą, ale wyszło mi, że nie ma ekstremów.

\(\displaystyle{ z(x, y) = \sqrt{1-3x^2+y^2}}\) i \(\displaystyle{ z(x, y) = -\sqrt{1-3x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ F(x, y, \sqrt{1-3x^2+y^2}) = F(x, y, -\sqrt{1-3x^2+y^2})= -2x^2+2y^2+1}\)

\(\displaystyle{ f_x=-4x}\)
\(\displaystyle{ f_y =4y}\)
\(\displaystyle{ f_{xx} = -4}\)
\(\displaystyle{ f_{yy} = 4}\)
\(\displaystyle{ f_{xy} = f_{yx} = 0}\)

\(\displaystyle{ det(H_f(0,0)) = \lambda^2-16}\)
\(\displaystyle{ \lambda = 4 \wedge \labda = -4}\)

Czyli, że macierz jest nieokreślona, czyli nie ma ekstremów.

-- 24 maja 2018, o 15:51 --

Mnożnik Lagrange'a to w tym zadaniu armata.
Co oznacza warunek \(\displaystyle{ z^2-1=0}\)?

Sorry, tam powinno być \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\) już zmieniłem.

[a4karo]

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) opisuje kwadrat odległości punktu od początku układu. Jest mniej więcej oczywiste, że w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) znajdzie się punkt, który jest najbliżej początku układu, więc minimum musi być.

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ 3x^2 - y^2 + z^2 - 1 = 0}\), to mamy
\(\displaystyle{ 3x^2+z^2=1+y^2\ge 1}\) oraz
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4x^2+2z^2-1=\frac 4 3\left( 3x^2+z^2\right)+\frac 2 3z^2-1\ge \\ \ge \frac 4 3+0-1=\frac 1 3}\)
z równością dla
\(\displaystyle{ (x,y,z)=\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, 0, 0\right), \ (x,y,z)=\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, 0, 0\right)}\)
Korzystałem tylko z warunków zadania i z nieujemności kwadratu liczby rzeczywistej, więc rozwiązanie na poziomie podstawówki (a nie, tam pewnie już nie ma potęgowania ).
No ale znacznie bardziej kształcące wydaje mi się rozwiązanie z użyciem metody mnożników Lagrange'a.

[rzeznikzblaviken]

Ok rozumiem.
Ale jak zrobić to metodą mnożników Lagrange'a?

Dochodzę do tego:

\(\displaystyle{ F(x, y, z, \lambda) = x^2+y^2+z^2-3\lambda x^2+ \lambda y^2 - \lambda z^2 + \lambda)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F_x = 2x-6\lambda x \\
F_y = 2y + 2\lambda y \\
F_z = 2z - 2\lambda z \\
F_{\lambda} = -3x^2 + y^2 - z^2 + 1 \\
\begin{cases}
2x-6\lambda x = 0 \\
2y + 2\lambda y = 0 \\
2z - 2\lambda z = 0 \\
-3x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0
\end{cases}}\)

No i nic z tego nie wychodzi.

[Premislav]

Ten układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-6\lambda x = 0 \\ 2y + 2\lambda y = 0 \\ 2z - 2\lambda z = 0 \\ -3x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0 \end{cases}}\)
wygląda OK. Teraz zapisz
\(\displaystyle{ 2x-6\lambda x=2x(1-3\lambda), \ 2y+2\lambda y=2y(1+\lambda), \ 2z-2\lambda z=2z(1-\lambda)}\)
Kiedy iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zero? Masz do rozważenia trochę przypadków.

[rzeznikzblaviken]

Ok, to wiem, ale wychodzi:

\(\displaystyle{ x = 0 \vee \lambda = 1/3}\)
\(\displaystyle{ y = 0 \vee \lambda = -1}\)
\(\displaystyle{ z = 0 \vee \lambda = 1}\)

[Premislav]

I w czym dalej tkwi problem? No to jest łącznie chyba osiem przypadków, trochę dużo. Ale można to nieco przyspieszyć.
Jest prosty przypadek \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\), który nie spełnia w ogóle warunku z ostatniego równania \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\).
Wobec tego zostają do rozważenia przypadki \(\displaystyle{ \lambda=\frac 1 3, \ \lambda=-1, \ \lambda=1}\)
i w każdym z tych przypadków podukład
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-6\lambda x = 0 \\ 2y + 2\lambda y = 0 \\ 2z - 2\lambda z = 0 \end{cases}}\)
otrzymanego układu równań jest prościutkim układem równań liniowych, trzeba tylko na koniec wstawić do warunku \(\displaystyle{ 3x^2-y^2+z^2-1=0}\) i sprawdzić, czy to może zajść.

[rzeznikzblaviken]

No, ale zawsze wyjdzie \(\displaystyle{ 0.}\)

np. dla \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ 2x - 6 \cdot \frac{1}{3} x= 0 \\
x = 0 \\
2y + 2 \cdot \frac{1}{3} y = 0 \\
y = 0 \\
2z - 2 \cdot \frac{1}{3} z = 0 \\
z = 0}\)

[a4karo]

Zero nie jest jedynym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 2x-2x=0}\)

[rzeznikzblaviken]

No pewnie! Ale przypał... . Wyszło mi już. Dziękuję wszystkim za pomoc.