Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych

[Kluczownik]

Witam. Mam za zadanie znaleźć ekstrema lokalne funkcji: \(\displaystyle{ e ^{-(x^2+y^2)} (2x^2+y^2)}\)
Policzyłem pochodne i zbudowałem układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xe ^{-(x^2+y^2)} (-2x^2-y^2+2)=0 \\ 2ye ^{-(x^2+y^2)} (-2x^2-y^2+1)=0 \end{cases}}\)

Po podzieleniu obydwu równań przez \(\displaystyle{ 2e ^{-(x^2+y^2)}}\) otrzymałem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(-2x^2-y^2+2)=0 \\ y(-2x^2-y^2+1)=0 \end{cases}}\)

Jak sobie poradzić z takim układem? Oczywiście \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) można już przyrównać do zera, jednak nie mam za bardzo pomysłu co zrobić z wyrażeniami w nawiasach. Myślałem nad dodaniem pierwszego równania do drugiego po uprzedniej zmianie znaku jednego z nich, jednak przeszkadzają \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) przed nawiasami. Proszę o pomoc.

Pozdrawiam

[SlotaWoj]

A kiedy iloczyn jest równy \(\displaystyle{ 0}\) ?

[Kluczownik]

Gdy jeden z czynników jest równy \(\displaystyle{ 0}\). Jednak jeśli przyrównam wyrażenie w nawiasie do \(\displaystyle{ 0}\), to nadal problematyczne będzie wyliczenie \(\displaystyle{ x}\) czy \(\displaystyle{ y}\) ze względu na kwadraty.

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ x(-2x^2-y^2+2)=0}\)

na prostej:

• \(\displaystyle{ x=0}\)

lub na elipsie:

• \(\displaystyle{ \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}=1}\)

[Kluczownik]

Dziękuję za odpowiedź, rzeczywiście jest to równanie elipsy, jednak nie za bardzo dostrzegam w jaki sposób miałoby mi to pomóc obliczyć \(\displaystyle{ x}\), czy \(\displaystyle{ y}\) w układzie równań.

[SlotaWoj]

Pogłówkuj!
Rozwiązałem Ci jedno równanie układu, Ty rozwiąż drugie i ...