Matematyka.pl

Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = ln(cos(x))}\)


Jak to rozwiązać??

1. Dziedzina

\(\displaystyle{ x \in \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right), \ k \in \mathbb{Z}}\)

2. Funkcja ln jest rosnąca, cos jest okresowa, zatem zlozenie bedzie okresowe o takim samym okresie, jak cosinus. Będziemy rozpatrywać tylko przypadek dla \(\displaystyle{ k=0}\).

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{-\sin x }{\cos x}=-\tan x}\)

Zatem funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0 \right)}\),
malejąca dla \(\displaystyle{ x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\),
dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy ekstremum lokalne - jest to maksimum (bo np. w otoczeniu 0 f przyjmuje tylko wartości ujemne).