5 zadań z pochodnych

[Mariunio]

1. Wyznacz parametr a, dla którego poniższa funkcja g jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=4}\):

\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x^{2}-x, dla x qslant 4\\ax+3 , dla x < 4\end{cases}}\)

2. Z dokładnością do \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) znajdź w przedziale (0,2) rozwiązanie równania:

\(\displaystyle{ 2^{x+1}+x=4}\)

3. Wyznacz z definicji pochodną funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-x}{1+x}}\)

4. Oblicz pochodną funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=(2x+2)e^{x+1}}\)

5. Oblicz pochodną funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{3x} ln 3x}\)

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to4^-}(ax+3)=4a+3\\
\lim_{x\to4^+}(x^2-x)=12\\
f(4)=12\\
\lim_{x\to4^-}g(x)=\lim_{x\to4^+}g(x)=f(4)\\
4a+3=12\\
4a=9\\
a=\frac{9}{4}}\)


3.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-x}{1+x}\\
f'(x)=\lim_{h\to0} \frac{f(x_o+h)-f(x_0)}{h}=
\lim_{h\to0} \frac{\frac{1-x_o-h}{1+x_0+h}-\frac{1-x_0}{1+x_0}}{h}=
\lim_{h\to0} \frac{\frac{(1-x_o-h)(1-x_0)-(1-x_0)(1+x_0+h)}{(1+x_0+h)(1+x_0)}}{h}=
\lim_{h\to0} \frac{\frac{-2h}{(1+x_0+h)(1+x_0)}}{h}=
\lim_{h\to0} \frac{-2}{(1+x_0+h)(1+x_0)}=\frac{-2}{(1+x_0)^2}}\)


4.
\(\displaystyle{ f(x)=(2x+2)e^{x+1}=2(x+1)e^{x+1} \\
x+1=t\\
f(t)=2te^t\\
f'(t)=2(e^t+te^t)=2e^t(1+t)\\
f'(x)=2e^{x+1}(x+2)}\)


5.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{ln3x}{3x}=\frac{1}{3} ft(\frac{ln3x}{x}\right) \\
f'(x)=\frac{1}{3} ft( \frac{\frac{3}{3x}\cdot x-ln3x}{x^2} \right)=
\frac{1}{3} ft( \frac{1-ln3x}{x^2} \right)=\frac{1-ln3x}{3x^2}}\)

POZDRO

[Lorek]

2. Będziemy korzystać z własności Darboux. Nasze równanie jest równoważne równaniu
\(\displaystyle{ 2^{x+1}+x-4=0}\)
Czyli gdybyśmy wzięli funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2^{x+1}+x-4}\), to rozwiązanie polegałoby na znalezieniu jej miejsca zerowego. No to szukamy:
\(\displaystyle{ f(0)=-2,\; f(2)=6}\). Czyli pierwiastek jest. Bierzemy "środek" przedziału (0;2) tj. 1: \(\displaystyle{ f(1)=1}\), czyli pierwiastek jest w przedziale (0;1). I znów bierzemy "środek" przedziału itd. aż znajdziemy rozw. z odpowiednią dokładnością.