Szacowanie błedu

[damianb543]

Mam problem z oszacowaniem błedu przybliżenia:\(\displaystyle{ \ \tg x \approx x}\)
\(\displaystyle{ \left| x\right| \le \frac{ \pi }{12}}\)

Reszta wyszła mi taka:
\(\displaystyle{ \frac{\ \sin c}{\ \cos ^{3}c }x ^{2}}\) dalej nie mam pojęcia jak oszacować błąd.

[szw1710]

Widzimy, że \(\displaystyle{ -|x|<c<|x|}\), a \(\displaystyle{ \cos 0=1}\). Dlatego wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{|\sin c|}{\cos^3 c}}\) można oszacować z góry.

[robertm19]

A to nie będzie tak że maksimum z różnicy na wskazanym przedziale to będzie oszacowanie błędu? Wystarczy jedna liczba jako oszacowanie?

[Premislav]

Dokładniej: dla \(\displaystyle{ |x|\le \frac{\pi}{12}}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin c}{\ cos ^{3}c }x ^{2}
\right|=\left|\frac{\sin c}{\cos ^{3}c } \right| x^2 \le \frac{\pi
^2}{144}\left| \frac{\sin c}{\cos^3 c} \right| \le \frac{\pi^2}{144} \frac{\sin \frac{\pi}{12} }{\cos^3\left( \frac{\pi}{12}\right) }}\)

i można wyliczyć funkcje trygonometryczne kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\), korzystając
z \(\displaystyle{ \sin\frac \pi 6=\frac 1 2, \ \cos \frac \pi 6=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) i ze wzorów na sinus/cosinus podwojonego kąta.

Mniej dokładnie:
dla \(\displaystyle{ |x|\le \frac{\pi}{12}}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin c}{\ cos ^{3}c }x ^{2}
\right|=\left|\frac{\sin c}{\cos ^{3}c } \right| x^2 \le \frac{\pi
^2}{144}\left| \frac{\sin c}{\cos^3 c} \right| \le \frac{\pi^3}{12^3} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}}\)
Moduł sinusa oszacowałem z góry z \(\displaystyle{ |\sin x|\le |x|}\), ponadto poszukałem najbliższego kąta o znanych przeze mnie wartościach funkcji trygonometrycznych i jest to \(\displaystyle{ \frac \pi 6}\) (albo zero, ale nie o to chodzi) i można napisać oczywiście, że
dla \(\displaystyle{ |t|\le \frac \pi {12}}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{|\cos t|} \le \frac{1}{\left| \cos \frac{\pi}{6}\right| } =\frac{2}{\sqrt{3}}}\) (bo cosinus jest rosnący w \(\displaystyle{ \left( -\pi, 0\right)}\) i malejący w \(\displaystyle{ \left( 0, \pi\right)}\) oraz parzysty), po czym podnieść do trzeciej potęgi.

[damianb543]

Dokładniej: dla \(\displaystyle{ |x|\le \frac{\pi}{12}}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin c}{\ cos ^{3}c }x ^{2}
\right|=\left|\frac{\sin c}{\cos ^{3}c } \right| x^2 \le \frac{\pi
^2}{144}\left| \frac{\sin c}{\cos^3 c} \right| \le \frac{\pi^2}{144} \frac{\sin \frac{\pi}{12} }{\cos^3\left( \frac{\pi}{12}\right) }}\)

i można wyliczyć funkcje trygonometryczne kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\), korzystając
z \(\displaystyle{ \sin\frac \pi 6=\frac 1 2, \ \cos \frac \pi 6=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) i ze wzorów na sinus/cosinus podwojonego kąta.

Mniej dokładnie:
dla \(\displaystyle{ |x|\le \frac{\pi}{12}}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin c}{\ cos ^{3}c }x ^{2}
\right|=\left|\frac{\sin c}{\cos ^{3}c } \right| x^2 \le \frac{\pi
^2}{144}\left| \frac{\sin c}{\cos^3 c} \right| \le \frac{\pi^3}{12^3} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}}\)
Moduł sinusa oszacowałem z góry z \(\displaystyle{ |\sin x|\le |x|}\), ponadto poszukałem najbliższego kąta o znanych przeze mnie wartościach funkcji trygonometrycznych i jest to \(\displaystyle{ \frac \pi 6}\) (albo zero, ale nie o to chodzi) i można napisać oczywiście, że
dla \(\displaystyle{ |t|\le \frac \pi {12}}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{|\cos t|} \le \frac{1}{\left| \cos \frac{\pi}{6}\right| } =\frac{2}{\sqrt{3}}}\) (bo cosinus jest rosnący w \(\displaystyle{ \left( -\pi, 0\right)}\) i malejący w \(\displaystyle{ \left( 0, \pi\right)}\) oraz parzysty), po czym podnieść do trzeciej potęgi.

Dlaczego za c wstawaimy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}}\)?

[Premislav]

Na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]}\)
funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\sin x}\) jest nieparzysta i osiąga największą wartość dla \(\displaystyle{ x_0=\frac{\pi}{12}}\), a funkcja \(\displaystyle{ h(x)=\frac{1}{\cos^3 x}}\) jest na tym przedziale dodatnia, parzysta i największą wartość osiąga dla \(\displaystyle{ x_0=\frac{\pi}{12}}\) (w razie wątpliwości spójrz na wykres sinusa i cosinusa i odnotuj, że im mniejszy jest mianownik ułamka o dodatnim liczniku i mianowniku, tym większą wartość ma ten ułamek).

[damianb543]

A jak obliczyć \(\displaystyle{ ln(1,1)}\) z dokładnościa do \(\displaystyle{ 10 ^{-4}}\)-- 17 gru 2017, o 17:02 --A powiedz mi skąd szacują do jakiego przedziału nalezy c? raz widze (0,1) raz (0,x) ale skąd ten x?????!!!!

[Premislav]

No, ze wzoru Maclaurina (z resztą w ulubionej postaci, np. ja lubię Lagrange'a, a niektórzy wolą całkową) dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\ln(1+x)}\).
Zdaje się, że starczy tak (to akurat reszta w postaci Lagrange'a):
\(\displaystyle{ \ln(1+x)= \frac{\ln 1}{0!} +x \frac{1}{(1+0)1!} -x^2 \frac{1}{(1+0)^22!} +x^3 \frac{2}{(1+0)^33!}- \frac{x^4}{4!} \frac{6}{(1+c)^4}}\)
gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest pewnym punktem pośrednim między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ x}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ x=\frac{1}{10}}\), to
\(\displaystyle{ \left| - \frac{x^4}{4!} \frac{6}{(1+c)^4}\right| \le \frac{1}{4}\cdot 10^{-4}}\)
no czyli dobrym szacowaniem jest
\(\displaystyle{ \ln(1,1)\approx \frac{\ln 1}{0!} +10^{-1} \frac{1}{(1+0)1!} -10^{-2} \frac{1}{(1+0)^22!}+10^{-3}\frac{2}{(1+0)^33!}}\)

A powiedz mi skąd szacują do jakiego przedziału nalezy c?

\(\displaystyle{ c}\) jest po prostu pewnym punktem pośrednim między \(\displaystyle{ x_0}\) (często jest to szczególny przypadek \(\displaystyle{ x_0=0}\), gdy mamy na myśli wzór Maclaurina) a \(\displaystyle{ x}\).

[damianb543]

To powiedz mi dlaczego w tym przykładzie \(\displaystyle{ \cos x \approx 1- \frac{x ^{2} }{2}+ \frac{x ^{4} }{24}}\) dla \(\displaystyle{ \left| x\right| \le \frac{ \pi }{6}}\) mam w przykładzie \(\displaystyle{ \cos c}\) oszaczowanie jako 1? nie czaje tego..

[Premislav]

Tylko czajnik czai.

No po prostu cosinus (dokładniej moduł cosinusa, ale na jedno wychodzi) można oszacować przez \(\displaystyle{ |\cos c|\le 1}\) dla \(\displaystyle{ c \in \RR}\) i dla \(\displaystyle{ c}\) w otoczeniu zera tego szacowania nie uda się poprawić, gdyż \(\displaystyle{ \cos 0=1}\).

[damianb543]

Tylko czajnik czai.

No po prostu cosinus (dokładniej moduł cosinusa, ale na jedno wychodzi) można oszacować przez \(\displaystyle{ |\cos c|\le 1}\) dla \(\displaystyle{ c \in \RR}\) i dla \(\displaystyle{ c}\) w otoczeniu zera tego szacowania nie uda się poprawić, gdyż \(\displaystyle{ \cos 0=1}\).

No to w tamtym przykładzie dlaczego wstawiłes za c \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}}\) a nie oszacowałeś przez 1??

A w powyzszym przykładzie oszacowałeś za c=0 a przeciez jest mianowniku to powinno byc c=1

[Premislav]

Bo tam mieliśmy \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^3 c}}\) a nie \(\displaystyle{ \cos c}\)…
Daj spokój, to nie jest tak, że do wszystkich zadań pasuje jeden i ten sam schemat, że zapamiętasz jedną rzecz i wszystkie zadania lecą.
Jak masz we wzorze Taylora resztę w postaci Lagrange'a:
\(\displaystyle{ f^{(k+1)}(c)\frac{(x-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}}\),
to moduł tej reszty szacujesz:
\(\displaystyle{ \left| f^{(k+1)}(c)\frac{(x-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}\right| \le \frac{|x-x_0|^{k+1}}{(k+1)!} \cdot \max_{c \in [x_0, x]} \left| f^{(k+1)}(c)\right|}\)
no dobra, jak \(\displaystyle{ x<x_0}\), to należy to zastąpić przez
\(\displaystyle{ \frac{|x-x_0|^{k+1}}{(k+1)!} \cdot \max_{c \in [x, x_0]} \left| f^{(k+1)}(c)\right|}\),
można to było zwięźlej zapisać za pomocą kombinacji wypukłej, ale zaraz byś spytał, co to kombinacja wypukła i jeszcze większy bałagan by się tylko zrobił.

[damianb543]

Ale jaki jest przedział \(\displaystyle{ \left\langle x_0,x \right\rangle}\) ??

[Premislav]

Pokazujesz niezrozumienie podstaw. Ja nie nazywam się podręcznik matematyki.
Polecam:
Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy
Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy
Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej

A jak chcesz coś z bardziej praktycznym nastawieniem, to słynny Krysicki i Włodarski (bo chyba matmy nie studiujesz).

Tak z grubsza, \(\displaystyle{ x_0}\) to punkt, w którym wygodnie jest nam liczyć pochodne danej funkcji różniczkowalnej odpowiednio wiele razy (w sposób ciągły jeszcze) \(\displaystyle{ f}\)(często bierzemy \(\displaystyle{ x_0=0}\)), \(\displaystyle{ x}\) to jest punkt, w którym nie możemy podać wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) ot tak w formie nas satysfakcjonującej (tj. nieskomplikowanej obliczeniowo). No to przybliżamy biorąc ileś tam początkowych wyrazów rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy o środku w \(\displaystyle{ x_0}\). W domyśle \(\displaystyle{ x_0}\) ma być dość „bliskie" \(\displaystyle{ x}\).