Ciągłość i różniczkowalność

[Krodinor]

Przepraszam, że to już drugi z kolei bardzo podobny temat, ale poprzedni nie cieszy się dużym zainteresowaniem, a mi dosyć zależy na czasie.

Zadanie:
Zbadać różniczkowalność następujących funkcji w punkcie: \(\displaystyle{ (0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} e^{ \frac{-1}{x^{2}+y^{2}} } &\mbox{dla }\left( x,y,\right) \neq (0,0) \\ 0 &\mbox{dla } (x,y) = (0,0) \end{cases}}\)


Na początek obliczam z definicji pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), tak?

[Premislav]

Owszem.

[Krodinor]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(0,0) = \lim_{ h\to 0 } \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{ h\to 0} \frac{ e^{-1/h^{2}} }{h} = 0}\)
Pochodna cząstkowa po y analogicznie, na razie wszystko się zgadza?

[pawlo392]

Tak, co z tego wynika?

[Krodinor]

Tzn. że funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ (0,0)}\)?

[pawlo392]

Że jedynym kandydatem na pochodną w \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest odwzorowanie \(\displaystyle{ L\equiv 0}\).

[Krodinor]

Ok, czyli gdy te pochodne cząstkowe nie są sobie równe, tzn. że nie ma żadnego takiego kandydata i funkcja nie jest w tym punkcie różniczkowalna, tak?

Natomiast w tym przypadku co należy zrobić dalej?

[pawlo392]

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} &\mbox{dla }\left( x,y,\right) \neq (0,0) \\ 0 &\mbox{dla } (x,y) = (0,0) \end{cases}}\).
Weźmy sobie powyższy przykład. Tutaj istnieją obie pochodne cząstkowe.Tak więc funkcja może mieć wszystkie pochodne cząstkowe w danym punkcie ale nie być w tym punkcie ciągła, (zauważmy nawet, że obie te pochodne cząstkowe są sobie równe). Nasza funkcja nie będzie różniczkowalna.

Co do twojego zadania to badamy teraz z definicji różniczkowalność.
Niech\(\displaystyle{ f: \RR^n \ni D_f \rightarrow R^m}\), \(\displaystyle{ a \in \Int(D_f)}\). Mówimy, że \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punkcie a gdy istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ L \in \mathcal{L}(\RR^n, \RR^m )}\) takie, że \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}=0}\)

[Krodinor]

Czy będzie to wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \lim_{( \sqrt{h^{2}+k^{2}}) \to 0 } \frac{f(0+h,0+k) - f(0,0) - L(h,k)}{ \sqrt{h^{2}+k^{2}}}}\)
?

[a4karo]

Pochodna cząstkowa po y analogicznie, na razie wszystko się zgadza?

Analogicznie to chyba nie, bo funkcja nie jest określona dla \(\displaystyle{ (0,y)}\)

[Krodinor]

Pochodna cząstkowa po y analogicznie, na razie wszystko się zgadza?

Analogicznie to chyba nie, bo funkcja nie jest określona dla \(\displaystyle{ (0,y)}\)

Zmieniłem zapis, przepraszam, jeżeli wcześniejszy został źle zrozumiany. Czy w takim razie poprzednie rachunki były bez sensu?

[pawlo392]

Które rachunki?

[Krodinor]

Te pochodne cząstkowe, do których pytanie miał A4karo.

Ponawiam pytanie o to co trzeba dalej zrobić w tym zadaniu.
I ogólniej, jaki jest schemat postępowania w takich zadaniach?

[pawlo392]

A no napisałem Ci, iż należy badać teraz różniczkowalność z definicji.

[Krodinor]

I czy będzie to wyglądało tak jak napisałem?