Matematyka.pl

Cześć, mam zadanie:

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f: \RR^{n} \rightarrow \RR}\) jest różniczkowalna oraz \(\displaystyle{ f(0)=0}\) to istnieją funkcje \(\displaystyle{ h_{i}}\), że \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{i=1}^{n} x_{i} h _{i}(x)}\). Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ g_{x}(t) =f(tx)}\) to \(\displaystyle{ f(x)= \int_{0}^{1} h'_{x}(t) dt}\).

Proszę o pomoc -- 26 paź 2017, o 20:52 --Pomoże ktoś?

1.

Dla dowolnego

\(\displaystyle{ \textbf x\in \textbf R^{n}}\) niech \(\displaystyle{ h: \textbf R\rightarrow \textbf R \ \ h(t) = t\cdot \textbf x.}\)

Zatem

\(\displaystyle{ g:\textbf R \rightarrow \textbf R , \ \ g = f \circ h.}\)

Na podstawie reguły łańcuchowej:

\(\displaystyle{ g'(1) = f'(x)\cdot h'(1) = \sum_{i=1}^{n} x^{i}D_{i}f(x).}\)

Pochodna funkcji \(\displaystyle{ h_{x}(t)}\)

\(\displaystyle{ h'_{x}(t) = \sum_{i=1}^{n}x^{i}\cdot D_{i}f(t \textbf x).}\)

Całka pojedyńcza jest operatorem liniowym, więc

\(\displaystyle{ f(x) = \int_{0}^{1}h'_{x}(t) = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n}x^{i}\cdot D_{i}f(t\textbf x)=

=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\int_{0}^{1}D_{i}f(t\textbf x)dt = \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}(x),}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ h_{i}(x) = \int_{0}^{1}D_{i}f(t\textbf x)dt.}\)

c.b.d.o.