Ekstrema warunkowe funkcji
: 18 paź 2017, o 20:37
Witam,
w zadaniu należy znaleźć ekstrema warunkowe funkcji. Chciałbym prosić o sprawdzenie rozwiązanego przeze mnie układu równań, ponieważ nie jestem pewien co do poprawności uzyskanych przez mnie wyników.
\(\displaystyle{ f(x,y)=xy}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}+16}\)
Stosując mnożniki Lagrange’a obliczam poszczególne pochodne i otrzymuje poniższy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}y-2\lambda\ x=0\\x-2\lambda\ y=0\\-x^{2} -y^{2}+16=0\end{cases}}\)
Z pierwszych dwóch równań wyznaczam x i y
\(\displaystyle{ y=2\lambda\ x}\)
\(\displaystyle{ x=2\lambda\ y}\)
Podstawiam x do trzeciego równania i otrzymuje
\(\displaystyle{ (2\lambda\ y)^{2}+y^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ y^{2}=\frac{16}{4 \lambda\ ^{2}+1}}\)
Podstawiam y do trzeciego równania i otrzymuje
\(\displaystyle{ x^{2}+(2\lambda\ x)^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=\frac{16}{4 \lambda\ ^{2}+1}}\)
Zgodnie z tym, że \(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}}\) podstawiam \(\displaystyle{ x^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y^{2}}\) do trzeciego równania i otrzymuje
\(\displaystyle{ x^{2}+x^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+y^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=-2\sqrt{2}}\)
Czy w związku tym poniższe punkty są punktami podejrzanymi?
\(\displaystyle{ P_{1}=(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})}\)
w zadaniu należy znaleźć ekstrema warunkowe funkcji. Chciałbym prosić o sprawdzenie rozwiązanego przeze mnie układu równań, ponieważ nie jestem pewien co do poprawności uzyskanych przez mnie wyników.
\(\displaystyle{ f(x,y)=xy}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}+16}\)
Stosując mnożniki Lagrange’a obliczam poszczególne pochodne i otrzymuje poniższy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}y-2\lambda\ x=0\\x-2\lambda\ y=0\\-x^{2} -y^{2}+16=0\end{cases}}\)
Z pierwszych dwóch równań wyznaczam x i y
\(\displaystyle{ y=2\lambda\ x}\)
\(\displaystyle{ x=2\lambda\ y}\)
Podstawiam x do trzeciego równania i otrzymuje
\(\displaystyle{ (2\lambda\ y)^{2}+y^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ y^{2}=\frac{16}{4 \lambda\ ^{2}+1}}\)
Podstawiam y do trzeciego równania i otrzymuje
\(\displaystyle{ x^{2}+(2\lambda\ x)^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=\frac{16}{4 \lambda\ ^{2}+1}}\)
Zgodnie z tym, że \(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}}\) podstawiam \(\displaystyle{ x^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y^{2}}\) do trzeciego równania i otrzymuje
\(\displaystyle{ x^{2}+x^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+y^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=-2\sqrt{2}}\)
Czy w związku tym poniższe punkty są punktami podejrzanymi?
\(\displaystyle{ P_{1}=(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})}\)