ojej
daj przykład to policzymy...
[ Dodano: 19 Września 2007, 11:39 ]
krok pierwszy
szukamy punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pochodnych cząstkowych funkcji f (warunek konieczny):
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x+y-2 \\
\frac{\partial f}{\partial y} = x+2y-1 \\}\)
Dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-2=0 \\
x+2y-1=0
\end{cases}}\)
Rozwiązania tego układu to hipotetyczne ekstrema.
A rozwiązaniem tego układu jest punkt (1,0).
krok drugi
liczymy drugi pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 \\}\)
oraz liczymy wyznacznik macierz pochodnych (hesjan) w podanym punkcie:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c|}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\
\end{array}
=
\begin{array}{|c c|}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{array}
= 4-1=3}\)
Akurat tutaj tego nie widać, ale może się zdarzyć, że drugi pochodne będą uzależnione od x lub y - wtedy wstawiasz znalezione wartości.
krok trzeci
badamy wyznacznik hesjanu;
- jeśli jest > 0 to mamy minimum
- jeśli jest < 0 to mamy maksimum
A więc funkcja w (1,0) ma minimum lokalne.