Jest jakiś sprytny sposób na pokazanie tej nierówności
\(\displaystyle{ x(\ln{x})^2<(x^2-1)\arctan\frac{x-1}{x+1}}\) dla x>1
nierówność do wykazania
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
nierówność do wykazania
Sprytnie? Ciężko. Niech:
\(\displaystyle{ g(x)=\arctan\frac{x-1}{x+1}, \quad f(x)=\frac{x\ln^2 x}{x^2-1}, \quad x>1}\)
przy czym funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma pozorną osobliwość w \(\displaystyle{ x=1}\). Należy sprawdzić, że:
\(\displaystyle{ g(x)-f(x)>0, \quad x>1}\)
Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ g'(x)-f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)=g(1)=0}\). Ale:
\(\displaystyle{ g'(x)-f'(x)=\frac{\left(\left(x^2+1\right) \ln (x)+1-x^2\right)^2}{\left(x^2-1\right)^2 \left(x^2+1\right)}>0}\)
\(\displaystyle{ g(x)=\arctan\frac{x-1}{x+1}, \quad f(x)=\frac{x\ln^2 x}{x^2-1}, \quad x>1}\)
przy czym funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma pozorną osobliwość w \(\displaystyle{ x=1}\). Należy sprawdzić, że:
\(\displaystyle{ g(x)-f(x)>0, \quad x>1}\)
Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ g'(x)-f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)=g(1)=0}\). Ale:
\(\displaystyle{ g'(x)-f'(x)=\frac{\left(\left(x^2+1\right) \ln (x)+1-x^2\right)^2}{\left(x^2-1\right)^2 \left(x^2+1\right)}>0}\)