Obliczyć granicę

[max123321]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ I}\) jest przedziałem otwartym zawierającym \(\displaystyle{ 0}\), a funkcja \(\displaystyle{ f:I \rightarrow \RR}\) jest różniczkowalna. Obliczyć:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \lim_{y \to x} \frac{y^2f\left( x\right)-x^2f\left( y\right) }{\left( 1-\cos x\right)\sin \left( x-y\right) }}\)

Myślałem, tu o regule del 'Hospitala, chyba założenia są spełnione? Ale też mi z tego nic nie wychodzi, nie ma napisane czy \(\displaystyle{ f}\) jest dwukrotnie różniczkowalna.

Jakaś wskazówka?

[Premislav]

Ta granica iterowana jak dla mnie wcale nie musi istnieć (tj. wewnętrzna istnieje, ale potem jest problem). Np. wziąłem łatwą i typową funkcję \(\displaystyle{ f(t)=e^t}\), która spełnia założenia zadania.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \lim_{y \to x} \frac{y^2f\left( x\right)-x^2f\left( y\right) }{\left( 1-\cos x\right)\sin \left( x-y\right) }=[H]= \lim_{x \to 0} \lim_{y \to x} \frac{x^2f'(y)-2yf(x)}{(1-\cos x)\cos(x-y)}= \lim_{x \to 0} \frac{x^2f'(x)-2xf(x)}{1-\cos x}= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2f'(x)-4xf(x)}{x^2} \cdot \frac{\frac{x^2}{2}}{1-\cos x}}\)
Drugi czynnik dąży do \(\displaystyle{ 1}\), za to granica pierwszego nie istnieje, gdyż granica prawostronna jest różna od lewostronnej.
Moim zdaniem zabrakło w tym zadaniu jakiegoś założenia.

[max123321]

Nie no właśnie nie ma żadnych dodatkowych założeń. Granica
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2e^x-4xe^x}{x^2}}\) wyszła mi \(\displaystyle{ +\infty}\) dla zera z minusem i \(\displaystyle{ -\infty}\) dla zera z plusem. Zgadza się?

Czyli co? Odpowiedzią jest, że ogólnie ta granica nie istnieje?

[Premislav]

Tak, własnie tak wychodzi i granica nie istnieje.-- 19 mar 2017, o 16:35 --Dokładniej: nie musi istnieć. W tym konkretnym przypadku nie istnieje.
Np. dla funkcji stale równej \(\displaystyle{ 0}\) wychodzi zero. Dziwne zadanie tak w ogóle.

[max123321]

Dziwne zadanie tak w ogóle.

No właśnie. Ostatnio w ogóle mam serię dziwnych zadań.