Wyprowadzenia pochodnej iloczynu i ilorazu z wyk. MIT 18.01

[Rados]

Można prosić o wytłumaczenie wyprowadzenia wzoru na pochodną Iloczynu (4:50) i Ilorazu (12:50):

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=4sTKcvY

... 80&index=4

\(\displaystyle{ \Delta(uv)=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)=(u(x+\Delta x)-u(x))v(x+\Delta x)+u(x)(v(x+\Delta x)-v(x))=(\Delta u)v(x+\Delta x)+u(x)\Delta v
\\
\\
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta (uv)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta (u)}{\Delta x}v(x+\Delta x)+ u\frac{\Delta (v)}{\Delta x}=u'v
+uv'}\)

Nie rozumiem w jaki sposób wykładowca w jednym miejscu podstawia 0 za \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\) a w pozostałych zostawia \(\displaystyle{ \Delta x}\). Przecież to jest wyrażenie w postaci 0/0. Rozumiem bardzo ładne i proste wyprowadzenia z forum ale chciałbym zrozumieć też sposób tego faceta.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{\Delta (uv)}{\Delta x}= \frac{\Delta (u)}{\Delta x}v(x+\Delta x)+ u\frac{\Delta (v)}{\Delta x}}\)

Rozumiem, że z tym nie masz problemu.
Zastanów sie zatem, do czego dąży każda z tych kolorowych rzeczy gdy \(\displaystyle{ \Delta x\to 0}\)
\(\displaystyle{ \red{\frac{\Delta (u)}{\Delta x}}\blue{ v(x+\Delta x)}+ u\green{ \frac{\Delta (v)}{\Delta x}}}\)

[Rados]

Teraz chyba widzę. On tego nie pominął, tylko podstawił z definicji

\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta (u)}{\Delta x}= \frac{du}{dx}}\)

I zostało tylko \(\displaystyle{ v(x+\Delta x)}\) gdzie już spokojnie za \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\) mógł podstawić 0.

Strasznie nieprzejrzysty sposób i jeszcze litery typu \(\displaystyle{ \Delta \delta \sigma}\) łatwo się mylą z \(\displaystyle{ \frac{d…}{dx}}\)

[a4karo]

I zostało tylko \(\displaystyle{ v(x+\Delta x)}\) gdzie już spokojnie za \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\) mógł podstawić 0.

Nie mógł i nie podstawił. Wykorzystał tu fakt, że funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła, zatem \(\displaystyle{ \lim_{\Delta x\to 0} v(x+\Delta x)=v(x)}\)