Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^4}}\)
Zbadać różniczkowalność w (0,0)

Podstawiam do wzoru definicji i podstawiam
x+h=h bo x=0 i y=0
\(\displaystyle{ f'x(0,0)=lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h^2}-\sqrt{0+0}}{h}=1}\)

licząc nie z deficji wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^+y^4}}}\)

a dla (0,0) jest dzielenie przez 0, więc jak ma być to =1 ?


pochodna po y:
\(\displaystyle{ f'y(0,0)=lim_{k\to 0}\frac{\sqrt{k^4}-\sqrt{0+0}}{h}=lim_{k\to 0}k=0}\)

Czy dobrze liczę?

To, ze pochodne czastkowe istnieją, nie znaczy ,że funkcja musi byc. różniczkowalna w punkcie.

Def.: Funckja jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

\(\displaystyle{ lim_{h,k\to 0,0} ...... =0}\)

Policz granice przy h i k dążącym do 0 i wtedy jak granica wyjdzie Ci inna niż 0, oznacza to ,ze funkcja nie jest rózniczkowalna w (0,0).

Tzn. policzyc osobno dla h->0 i k->0 i lewostronną i prawostronną (4 granice), tak?

\(\displaystyle{ lim_{h,k\to 0,0}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0)h-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}}\)

To ma być równe 0, jak będzie rózne od zera, to funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie.

EDIT:

Nie wiem czy dobrze, ale to ma być chyba tak:

\(\displaystyle{ =lim_{h,k\to 0,0}\frac{f(h,k)-0-0-0}{\sqrt{h^2+k^2}}=}\)
\(\displaystyle{ lim_{h,k\to 0,0}\frac{\sqrt{h^2+k^4}}{\sqrt{h^2+k^2}}=}\)

Udowodnimy ,że ta granica nie jest równa 0. Niech \(\displaystyle{ (k_n,h_n)=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\).

\(\displaystyle{ lim_{n,\to }(h_n,k_n)=(0,0)}\)

\(\displaystyle{ lim_{h_n,k_n\to }\frac{\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}}}}\)=

dzielimy lciznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n}\) czyli to co pod pierwiastkiem przez \(\displaystyle{ n^2}\).

\(\displaystyle{ =lim_{h_n,k_n\to }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+1}}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\neq 0}\)

Zatem funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)

To ma być równe 0, jak będzie rózne od zera, to funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie.

Tym wzorem badam ciągłość czy już różniczkowalność?

W tym wzorze są dwie pochodne (po x i po y), jak mozna je wykorzytsać, skoro to wlasnie mamy sprawdzic czy istnieją?
Dalej, gdy podstawiasz pod nie (0,0) to wtedy te 0 wychodzi w ich mianowniku. przy h-> 0 h/0 to 0?

Badasz różniczkowalność, jeśli garnica z tego wyrażenia jest równa 0, tzn. że funckja jest rózncizkowalna.

Jak już napisałem - istnienie pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie nie gwarantuje różniczkowalności tej funkcji w tym punkcie!

W naszym przypadku :

\(\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0,0)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(0,0)=0}\)

Wszytsko masz napisane w definicji co masz zrobić, nie rozumiem w czym jest problem.

Dzieki ze szczegolowe wytlumaczenie.

Czyli, reasumując, gdy mam zbadać różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych, wystarczy ze sprawdzę czy w powyższym wzorze wychodzi 0. Nie muszę szukać granic, czy używać wzoru \(\displaystyle{ lim_{h\to0}\frac{1}{h}f(x+h,y)-f(x,y)}\)i drugiego odpowiednio dla y?

Powyższy wzór - masz na myśli liczenie pochodnych cząstkowych w punktach \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\)? Bo jeśli tak, to nie, bo pochodne cząstkowe w punktach \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) moga być równe zeru, a funkcja moze być nieróżniczkowalna w tych punktach. Przykładem jest nasza funkcja. Jeśli masz na myśli wzór z definicji to to jest granica i musisz ją liczyć . Po prostu gdy masz sprawdzić różniczkowalność, to liczysz pochodne cząstkowe w tych punktach, liczysz \(\displaystyle{ f(x_0,y_0)}\), liczysz \(\displaystyle{ f(x_0+h,y_0+k)}\). Wstawiasz to wszystko do tego wzoru i liczysz z tego granice przy \(\displaystyle{ h,k -> (0,0)}\), jeżeli granica z tego wyrażenia wyjdzie = 0 - to funkcja jest różniczkowalna. Jeśli natomiast wyjdzie różna od zera to znaczy, że nie jest różniczkowalan. Na tej podstawie to stwierdzasz, nie na liczeniu pochodnych cząstkowych w punktach. Mam nadzieję, ze już rozumiesz.

Mam dwie uwagi:
1.

TS pisze:\(\displaystyle{ f'x(0,0)=lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h^2}-\sqrt{0+0}}{h}=1}\)

To jest jawna nieprawda.

2.
Badanie różniczkowalności z definicji często jest bardzo żmudne. Wygodniej jest skorzystać z następującego twierdzenia:
Jeśli istnieją pochodne cząstkowe w danym punkcie oraz są w nim ciągłe, to funkcja jest w tym punkcie różniczkowalna.
Tutaj mała uwaga: jeśli nie są ciagłe to jeszcze nic nie wiemy, wtedy już musimy sprawdzac z definicji.

Drizzt rozwiń proszę swoją 1. uwagę. Dlaczego h/h nie jest 1? Czy wcześniej źle wyprowadzielem coś?

Zauważ że pierwiastek z kwadratu daje moduł liczby.

\(\displaystyle{ f'x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h^2}-\sqrt{0+0}}{h}=\lim_{h\to 0} sgnh}\)
Czyli granica nie istnieje.

\(\displaystyle{ lim_{h,k\to 0,0}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0)h-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}}\)

\(\displaystyle{ {\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0)h}\)
to po prostu iloczyn pochodnej po x w (0,0) z h ?
Pytam, bo w podobnym wzorze, gdzie indziej, było to dziwnie zapisane i chcę mieć pewność.