wyznacz ekstrema lokalne funkcji

[Ewelisialke]

wyznacz ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f : \RR^{2} \to \RR}\) danej wzorem :
a) \(\displaystyle{ f(x, y) = x^{4} + y^{4} - (x+y)^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x, y) = x^{2} + xy^{2} + y^{4}}\)

Proszę o pomoc w wyznaczeniu pochodnych cząstkowych, nie wiem jak się zabrać za to zadanie, wiem, że trzeba rozwiązać układ równań ale mam z tym problem. To co mi się udał zrobić

Ad. a)
\(\displaystyle{ f'_x = 4 x^{3} - 2(x+y)\\
f'_y = 4 y^{3} - 2(x+y)}\)

\(\displaystyle{ 4 x^{3} - 2(x+y)\\
4 y^{3} - 2(x+y)}\)

\(\displaystyle{ 4 x^{3} - 4 y^{3} = 0\\
x^{3} - y^{3} = 0}\)

[Andreas]

\(\displaystyle{ 4 x^{3} - 4 y^{3} = 0\\
x^{3} - y^{3} = 0}\)

Teraz musisz rozwiązać ten układ równań. Co wychodzi?

[a4karo]

\(\displaystyle{ 4 x^{3} - 4 y^{3} = 0\\
x^{3} - y^{3} = 0}\)

Teraz musisz rozwiązać ten układ równań. Co wychodzi?

Przecież to nie jest układ równań, tylko jedno równanie. Drugim jest np. \(\displaystyle{ 4x^3-2(x+y)=0}\) (autorka zapomniała o prawych stronach równości, niestety.

[Ewelisialke]

\(\displaystyle{ 4 x^{3} + 4 y^{3} - 4x - 4y = 0\\
x^{3} - y^{3} = (x-y)( x^{2} +xy+ y^{2} ) = 0}\)
czyli \(\displaystyle{ x=y}\)

Po przekształceniach \(\displaystyle{ P_1(0,0), P_2(1,1), P_3(-1,-1)}\).

Autorka pamięta "stety" o prawych stronach a4karo

[a4karo]

Ad. a)
\(\displaystyle{ f'_x = 4 x^{3} - 2(x+y)\\
f'_y = 4 y^{3} - 2(x+y)}\)

\(\displaystyle{ 4 x^{3} - 2(x+y)\\
4 y^{3} - 2(x+y)}\)

\(\displaystyle{ 4 x^{3} - 4 y^{3} = 0\\
x^{3} - y^{3} = 0}\)

Może teraz już pamięta, ale jak pisałem, to nie pamiętała

[Ewelisialke]

Ominęłam to celowo bo widać że x=y