Matematyka.pl

1. Do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x^4}{x^2+1}}\) poprowadzono styczne w punktach, których rzędna jest równa 1. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się tych stycznych.

2. Prosta o równaniu y = -0,75x jest styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 0,5x^4-x+a}\).
a) Znajdź współrzędne punktu styczności.
b) Oblicz współczynnik a.

\(\displaystyle{ f'(x)=2x^3-x}\)
\(\displaystyle{ 2x^3-x=0,75}\)
liczymy x i mamy współrzędną x punktu styczności, a współrzędną y znajdujemy po podstawieniu tego x do wzoru funkcji f(x).
b) układamy równanie \(\displaystyle{ y=0,5x^4-x+a}\) gdzie y i x mamy wyliczone z poprzedniego podpunktu.

2.
\(\displaystyle{ f'(x)=2x^3-1}\)

ad 1.
\(\displaystyle{ f(x) = 1 \iff x = 1}\)
\(\displaystyle{ f'(1) = 3, \quad f'(-1) = -3}\)
Teraz wystarczy napisać równania prostych o odpowiednich współczynnikach kierunkowych (wart. pochodnych), przechodzących przez odpowiednie punkty ((1,f(1)) i (-1,f(-1)), a następnie wyznaczyć ich punkt przecięcia.

3. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x^2-1}{x}}\), z których każda razem z osiami
x układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu równym 1.

4. Funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a}{x}}\) gdzie a≠0. Udowodnij, że pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i styczną do wykresu funkcji f nie zależy od wyboru punktu styczności.

ad 3.
R. stycznej do wykresu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\):
\(\displaystyle{ y = f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0)\\
y = f'(x_0) x + ft( f(x_0) - x_0 f'(x_0) \right)}\)
Prosta ta przetnie osie układu współrzędnych tworząc trójkąt o polu 1:
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} | x_1 y_1 | = 1}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_1 = - \frac{\left( f(x_0) - x_0 f'(x_0) \right)}{f'(x_0)}, \quad y_1 = ft( f(x_0) - x_0 f'(x_0) \right)}\)
Jednakże iloczyn \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x_1 y_1}\) może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne (bo kto mu zabroni? ). Należy podstacić do wyr. na S wart. x1 i y1 i rozważyć przypadki gdy S=1 lub S=-1.
Otrzymamy stąd, że:
\(\displaystyle{ x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Czyli r. stycznych to:
\(\displaystyle{ y = 4x - 2 \sqrt{2} \ \ lub \ \ y = 4 x + 2 \sqrt{2}}\)

4)
Liczymy równanie stycznej:
\(\displaystyle{ f(x_{0})=\frac{a}{x_{0}}\\
f'(x_{0})=-\frac{a}{x_{0}^{2}}\\
y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})\\
y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\\
y=-\frac{a}{x_{0}^{2}}(x-x_{0})+\frac{a}{x_{0}}\\
y=-\frac{a}{x_{0}^{2}}x+\frac{2a}{x_{0}}}\),
a następnie miejsce zerowe stycznej:
\(\displaystyle{ y=0\\
-\frac{a}{x_{0}^{2}}x+\frac{2a}{x_{0}}=0\\
x=2x_{0}}\)

Liczymy pole pod wykresem stycznej:
\(\displaystyle{ P=\int\limits^{2x_{0}}_{0}| -\frac{a}{x_{0}^{2}}x+\frac{2a}{x_{0}} | dx=[|-\frac{a}{2x_{0}^{2}}x^{2}+\frac{2a}{x_{0}}x|]\limits^{2x_{0}}_{0}=2a}\)

Calasilyar, a bez całki się da?