Zbadać monotoniczność funkcji

[ritaanna]

Witam, mam problem z zadaniem. Muszę zbadac monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2 \cdot e^{-x}}\). Wiem, że najpierw muszę policzyć pochodną, więc \(\displaystyle{ f'(x)=2x \cdot e^{-x} -x^2}\). I co dalej? Jak wyznaczyć z tego dziedzinę i przyrównać do zera? Proszę o pomoc.

[Alef]

\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=e^{-x}\left( 2x-x^{2}\right)}\)

Teraz łatwiej?

[ritaanna]

\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=e^{-x}\left( 2x-x^{2}\right)}\)

Teraz łatwiej?

Tak, o wiele, bardzo dziękuję Koleżanka mi też pomogła i wychodzi \(\displaystyle{ 2x-x^2=0}\), wyciągam \(\displaystyle{ x}\) i jest \(\displaystyle{ x(2-x)=0}\), więc \(\displaystyle{ x=2}\), koleżanka mi narysowała wykres i jest u niej parabola z ramionami w dól, ale nie rozumiem dlaczego? Rysując wykres nie patrzę na początkową funkcję? Na którą funkcje powinnam patrzeć zawsze rysując juz wykres?

[Alef]

Aby zbadać monotoniczność Twojej funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) musisz sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ x}\):

a) funkcja \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest dodatnia (czyli gdzie \(\displaystyle{ f'(x)>0}\)), bo wówczas funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca.

b) funkcja \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest ujemna (czyli gdzie \(\displaystyle{ f'(x)<0}\)), bo wówczas funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca.

Zaczynamy od a). Do rozwiązania masz nierówność:

\(\displaystyle{ f'(x)>0}\)

\(\displaystyle{ e^{-x}\left( 2x-x^{2}\right)>0}\)

Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ e^{-x}}\), bo ta funkcja jest zawsze silnie większa od zera i znak nierówności Ci się nie zmieni. Dostajemy:

\(\displaystyle{ 2x-x^{2}>0}\)

Musisz zatem rozwiązać zwykłą nierówność kwadratową. Znak stojący przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) to minus, a więc parabola ma ramiona zwrócone do dołu. Teraz wystarczy znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ 2x-x^{2}}\). Możesz liczyć deltę i korzystać ze wzorów, a możesz wyciągnąć \(\displaystyle{ x}\) przed nawias:

\(\displaystyle{ x(2-x)>0}\)

Lewa strona się zeruje gdy \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}=2}\). Rysujesz wykres funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ 2x-x^{2}}\) (parabola zwrócona ramionami do dołu, miejsca zerowe \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}=2}\)) i sprawdzasz dla jakich \(\displaystyle{ x}\) wartości tej funkcji kwadratowej są większe od 0.

Okazuje się, że \(\displaystyle{ x(2-x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,2)}\).

Oznacza to, że \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,2)}\), czyli funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x\in(0,2)}\).

Podpunkt b) wykonaj samodzielnie.

[ritaanna]

Aby zbadać monotoniczność Twojej funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) musisz sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ x}\):

a) funkcja \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest dodatnia (czyli gdzie \(\displaystyle{ f'(x)>0}\)), bo wówczas funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca.

b) funkcja \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest ujemna (czyli gdzie \(\displaystyle{ f'(x)<0}\)), bo wówczas funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca.

Zaczynamy od a). Do rozwiązania masz nierówność:

\(\displaystyle{ f'(x)>0}\)

\(\displaystyle{ e^{-x}\left( 2x-x^{2}\right)>0}\)

Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ e^{-x}}\), bo ta funkcja jest zawsze silnie większa od zera i znak nierówności Ci się nie zmieni. Dostajemy:

\(\displaystyle{ 2x-x^{2}>0}\)

Musisz zatem rozwiązać zwykłą nierówność kwadratową. Znak stojący przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) to minus, a więc parabola ma ramiona zwrócone do dołu. Teraz wystarczy znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ 2x-x^{2}}\). Możesz liczyć deltę i korzystać ze wzorów, a możesz wyciągnąć \(\displaystyle{ x}\) przed nawias:

\(\displaystyle{ x(2-x)>0}\)

Lewa strona się zeruje gdy \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}=2}\). Rysujesz wykres funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ 2x-x^{2}}\) (parabola zwrócona ramionami do dołu, miejsca zerowe \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}=2}\)) i sprawdzasz dla jakich \(\displaystyle{ x}\) wartości tej funkcji kwadratowej są większe od 0.

Okazuje się, że \(\displaystyle{ x(2-x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,2)}\).

Oznacza to, że \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,2)}\), czyli funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x\in(0,2)}\).

Podpunkt b) wykonaj samodzielnie.

Dziękuję! czyli
funkcja jest malejąca dla x od minus nieskonczonosci do 0 i od 2 do +nieskonczonosci, tak? Mam jeszcze drugi problem, a nie mogę nigdzie znaleźć takiego przykładu, może mógłbyś mi też w tym pomóc? Mam obliczyć ciągłość funkcji f(x)= arctgx dla x \(\displaystyle{ \le}\) 0 oraz f(x)= x^2 + 1/ \(\displaystyle{ \left| x\right|}\) dla x > 0, w klamrze. Wiem, ze najpierw liczę granice lewo i prawostronne, jesli są sobie rowne to jest ciągla funkcja w danym punkcie, ale wszystkie przyklady robilam na x i nie wiem jak sobie poradzić z arctg i nie wiem w ogole jak zacząć
Edit: Próbuję ciagle i mam coś takiego.
X\(\displaystyle{ _{} 0}\)= 0.
\(\displaystyle{ \lim_{ \to }}\) od lewej to jest \(\displaystyle{ \lim_{ \to }}\)= 0.
a \(\displaystyle{ \lim_{ \to }}\) od prawej to x\(\displaystyle{ ^{} 2}\)+1/\(\displaystyle{ \left| x\right|}\) = 0\(\displaystyle{ ^{} +}\) +1/ 0\(\displaystyle{ ^{} +}\)= 1/0\(\displaystyle{ ^{} +}\)=... No i wlasnie tu nie wiem, ile to 1 przez 0+? i dlaczego? Bo ja bym napisala ze to 0... I co dalej z tym robić?

[Alef]

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} arctg(x)& \text{dla } x \le 0 \\ x^{2}+\frac{1}{\left| x\right| } & \text{dla }x>0\end{cases}}\)

Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ \left| x\right|=x}\) (z definicji wartości bezwzględnej).

Zatem Twoja funkcja wygląda tak:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} arctg(x)& \text{dla } x \le 0 \\ x^{2}+\frac{1}{ x } & \text{dla }x>0\end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ x<0}\) funkcja \(\displaystyle{ arctg(x)}\) jest ciągła jako funkcja elementarna.

Dla \(\displaystyle{ x>0}\) funkcja \(\displaystyle{ x^{2}+\frac{1}{x}}\) jest ciągła jako funkcja elementarna.

Problem może być tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\). No to liczymy:

a) \(\displaystyle{ f(0)=arctg(0)=0}\)

b) \(\displaystyle{ lim_{x\to0^{-}}f(x)=lim_{x\to 0^{-}} arctg(x)=\left[ arctg(0)\right]=0}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ lim_{x\to0^{-}}f(x)=f(0)}\) to funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest lewostronnie ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

c) \(\displaystyle{ \displaystyle lim_{x\to0^{+}}f(x)=lim_{x\to0^{+}}x^{2}+\frac{1}{x}=\left[0^{2}+\frac{1}{0^{+}}\right]=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ lim_{x\to0^{+}}f(x) \neq f(0)}\) to funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) nie jest prawostronnie ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

Wniosek: Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) nie jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

Odpowiedź do Zadania 1:

Funkcja jest malejąca na przedziałach: \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,+\infty)}\)