pochodna cząstkowa drugiego rzędu.

[Karolina93]

Hej.
Potrzebuje obliczyć pochodne cząstkowe, które są mi potrzebne do rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego \(\displaystyle{ u_{xx}=u_{yy}}\)

Mam takie podstawienie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \xi=\xi(x,y)=x+y \\ \eta=\eta(x,y)=x-y \end{cases}}\)

Więc \(\displaystyle{ u(x,y)=v(\xi,\eta)}\)

Liczę pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następująco:
\(\displaystyle{ u_{x}=\pfrac{v}{\xi} \cdot \pfrac{\xi}{x}+\pfrac{v}{\eta} \cdot \pfrac{\eta}{x}=\pfrac{v}{\xi} \cdot +\pfrac{v}{\eta} \cdot 1=\pfrac{v}{\xi}+\pfrac{v}{\eta}=v_{\xi}+v_{\eta}}\)

Jak natomiast obliczyć pochodną drugiego rzędu , czyli \(\displaystyle{ u_{xx}}\)?
\(\displaystyle{ u_{xx}=\pfrac{}{x}\left( v_{\xi}+v_{\eta}\right)}\)

Nie wiem jak dalej to rozpisać. Proszę bardzo o pomoc

[szw1710]

Pomocny będzie mój wykład z Kompendium. Tam rozważałem tego typu zamiany zmiennych.

254093.htm

Coś mieszasz z tym podstawieniem. Gdzieś będzie minus. Np. \(\displaystyle{ eta=x-y}\).

[Karolina93]

Faktycznie. Źle przepisałam, ale już poprawiłam.
\(\displaystyle{ u_{xx}=\pfrac{}{x}(\pfrac{v}{\xi}+\pfrac{v}{\eta})=...}\)
Niestety nie wiem jak dalej

[szw1710]

Przestudiuj mój wykład. Tam wszystko jasno napisałem. W minutę tego nie da się pojąć. Przeznacz na to cały dzień. A przynajmniej kilka godzin. Musisz czytając samodzielnie prowadzić rachunki.

[Janusz Tracz]

zgodnie z działaniem tego operatora.

\(\displaystyle{ frac{ partial cdot }{ partial x}= frac{ partial cdot }{ partial xi} frac{ partial xi}{ partial x} + frac{ partial cdot }{ partial eta} frac{ partial eta}{ partial x}}\)

przyjmijmy chwilo że to wyrażenie to \(\displaystyle{ W}\)
Kolejna pochodna czyli 2 pochodna to będzie

\(\displaystyle{ frac{ partial W}{ partial x}=frac{ partial W }{ partial xi} frac{ partial xi}{ partial x} + frac{ partial W }{ partial eta} frac{ partial eta}{ partial x}}\)

Z definicji z początku. Powracamy Do starych oznaczeń a zamiast kropki operator dostanie funkcję \(\displaystyle{ U}\).

\(\displaystyle{ frac{ partial }{ partial x}left( frac{ partial U }{ partial x}
ight)=frac{ partial }{ partial xi}left( frac{ partial U }{ partial xi} frac{ partial xi}{ partial x} + frac{ partial U }{ partial eta} frac{ partial eta}{ partial x}
ight) frac{ partial xi}{ partial x} + frac{ partial }{ partial eta} left(frac{ partial U }{ partial xi} frac{ partial xi}{ partial x} + frac{ partial U }{ partial eta} frac{ partial eta}{ partial x}
ight) frac{ partial eta}{ partial x}}\)

Z liniowości i wzoru na pochodne można wyprowadzić ogólny wzór, nie warto tego jednak robić dla podstawień liniowych.
Podstawmy to co mamy, tak jak słusznie zauważyłaś pochodna \(\displaystyle{ xi}\) i \(\displaystyle{ eta}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ frac{ partial ^2U}{ partial x^2}= frac{ partial }{ partial xi}left( frac{ partial U}{ partial xi} + frac{ partial U}{ partial eta}
ight)+ frac{ partial }{ partial eta}left( frac{ partial U}{ partial xi} + frac{ partial U}{ partial eta}
ight)}\)

Tu widać dlaczego lepiej mi było wstawić te pochodne bo gdyby nie były to liczby tylko funkcje trzeba by było korzystać 4 razy z wzoru na pochodną iloczynu a to sporo roboty.
I to właściwie koniec można by to było jeszcze tylko rozdzielić z liniowości.

\(\displaystyle{ frac{ partial ^2U}{ partial x^2}= frac{ partial ^2U}{ partial xi^2} +2 frac{ partial ^2U}{ partial xi partial eta} + frac{ partial ^2U}{ partial eta^2}}\)

Polecam też 254093.htm tam jest fajnie to wytłumaczone.

------------------------------------
Treść została zmieniona w trakcie odpowiedzi to co napisałem jest do wersji z plusem która był podejrzana od samego początku bo tam powinien być minus ale nie ma to wpływu na samo rozumowanie do momentu podstawień.

[szw1710]

Janusz Tracz, już podlinkowałem swój wykład dwa posty wcześniej. Dziękuję jednak za wyrazy uznania.

[Janusz Tracz]

szw1710, Pisanie tych wszystkich zawijasków zajęło mi chwilkę i nie widziałem nawet że odpowiedź została już udzielona

Co do zmiany \(\displaystyle{ +}\) na \(\displaystyle{ -}\) mam nadzieję że Karolina93, weźmie poprawkę na moje rozwiązanie które chyba by się nawet nie różniło bo pochodna po \(\displaystyle{ x}\) się nie zmianą więc i ostateczna odpowiedź będzie taka sama.

[Karolina93]

dziękuję Janusz Tracz :*