Zakładając, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ a}\), obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } n\left( f(a+ \frac{1}{n}) - f(a) \right)}\).
Czy istnienie powyższej granicy implikuje istnienie pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ a}\)?
Niech \(\displaystyle{ h= \frac{1}{n}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } n\left( f(a+ \frac{1}{n}) - f(a) \right)= \lim_{h\to0 } \left( \frac{f(a+ h) - f(a)}{h} \right) = f'(a)}\)
Istnienie tej granicy nie implikuje istnienia pochodnej. Kontrprzykład:
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}\).
Wtedy dla \(\displaystyle{ a=0}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } n\left( f(a+ \frac{1}{n}) - f(a) \right)= \lim_{n\to\infty } n\left(\left| \frac{1}{n}\right| - 0 \right)= 1}\)
A jak wiemy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest różniczkowalna.
Czy zadanie jest rozwiązane poprawnie?