Matematyka.pl

prosze, rozwiązcie mi to zadanie bo nie mam pojecia jak go zrobic

znalezc wszystkie takie funkcje f:R->R ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x,f(x)) przecina os OX w punkcie (x/2, 0)

Równanie stycznej do wykresu w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) ma postać:
\(\displaystyle{ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}\)
Z warunków zadania wynika, że:
\(\displaystyle{ -f(x_0)=f'(x_0)\left(\frac{x_0}{2}-x_0\right) \\
2f(x_0)=x_0\cdot f'(x_0)}\)
Zatem szukane krzywe są rozwiązaniami równania różniczkowego:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}=\frac{f'(x)}{f(x)}}\)