równanie różniczkowe
: 8 wrz 2007, o 13:21
rozwiąż równanie różniczkowe\(\displaystyle{ {y'}+\frac{2y}{x}=\frac{cosx}{x^{2}}}\) prosilbym o całkowite rozwiazanie krok po kroku moze z jamims małym wytłumaczeniem wielkie dzieki
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne,czyli:
\(\displaystyle{ y'+\frac{2y}{x}=0}\)
\(\displaystyle{ y'=-\frac{2y}{x} ftrightarrow \frac{dy}{y}=-\frac{2}{x}dx}\)
Całkujemy obie strony równania:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=\int -\frac{2}{x}dx}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ ln y=-2 ln x +C ftrightarrow ln y=ln x^{-2}+C ftrightarrow y=C_{1}x^{-2}}\)
W celu rozwiazania danego równania niejednorodnego uzmienniami stałą,czyli \(\displaystyle{ C_{1}=C_{1}(x)}\). Zatem \(\displaystyle{ y=C_{1}(x)x^{-2}}\).
\(\displaystyle{ y'=C'_{1}x^{-2}-2C_{1}x^{-3}}\)
Podstawiamy do wyjsciowego równania i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ C'_{1}x^{-2}-2C_{1}x^{-3}+2C_{1}x^{-3}=\frac{\cos x}{x^{2}} ftrightarrow \frac{C'_{1}}{x^{2}}=\frac{\cos x}{x^{2}} ftrightarrow C'_{1}=\cos x}\)
Całkujemy obustronnie:
\(\displaystyle{ \int C'_{1} = t \cos x dx}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ C_{1}=\sin x +C_{2}}\)
Zatem ostateczne rozwiązania danego równania ma postać:
\(\displaystyle{ y=\frac{\sin x + C_{2}}{x^{2}}}\)