Ekstrema funkcji

[legolas]

Wyznaczyć ekstrema funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x}{2y}+ \frac{2y}{x}, \ x,y>0}\)

No i policzyłem sobie pochodne pierwszego rzędu:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{1}{2y}- \frac{2y}{x^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{2}{x}- \frac{x}{2y^2}}\)

Przyrównałem do \(\displaystyle{ 0}\) i wyszło \(\displaystyle{ x=2y}\)

No i potem liczę drugiego rzędu, nastepnie podstawiam do wyznacznika i wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).
I co teraz mam zrobić?

[liu]

Spróbować zaatakować problem z innej strony.

Wiesz (z warunku koniecznego na ekstremum), że jeśli funkcja ma ekstremum, to znajduje się ono na półprostej \(\displaystyle{ x=2y, y >0}\). Zauważ, że

\(\displaystyle{ f(2y, y) = \frac{2y}{2y} + \frac{2y}{2y} = 2}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) ograniczona do badanej półprostej jest stała. Ponadto z nierówności między średnimi (\(\displaystyle{ a + b \geq 2\sqrt{ab}}\))

\(\displaystyle{ f(x,y) \geq 2\sqrt{\frac{x}{2y} \frac{2y}{x}} = 2,}\)

zatem każdy punkt na półprostej jest ekstremum (nawet globalnym).

[legolas]

Dzięki
Kolejny przykład z którym mam problem:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^3}{3}-xy^2+\frac{y^2}{2}}\)

Wyszły mi tu trzy punkty stacjonarne i wrońskian jest równy \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ (0,0)}\) - i jak to ugryźć?

[liu]

Zastanów się, jak ta funkcja zachowuje się na prostej \(\displaystyle{ y=0}\).

[legolas]

\(\displaystyle{ f(x,0)=\frac{x^3}{3}}\)

I jeśli by z tego wyliczyć pochodną

\(\displaystyle{ f'_x(x,0)=x^2}\)

Wychodzi na to, że pochodna się zeruje w \(\displaystyle{ x=0}\), więc tam następuje zmiana znaku. Więc jest jakieś ekstremum. A konkretniej to chyba nawet minimum.

[liu]

Pała z analizy I

Funkcja \(\displaystyle{ x \mapsto x^3/3}\) akurat wybitnie nie ma ekstremum w zerze - jest ujemna na lewo i dodatnia na prawo. Rozważanie naszej funkcji dwu zmiennych akurat na tej szczególnie dobranej prostej ma nas doprowadzić do wykazania, że tam właśnie ekstremum nie ma.

[legolas]

Aż mi się głupio zrobiło

Ok, mam jeszcze ostatni przykładzik - słowo honoru
Polecenie takie samo jak poprzednio.

\(\displaystyle{ f(x,y)=y\cdot\ln\left(x^2+y^2+1\right)}\)

Punkt stacjonarny wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\), wyznacznik oczywiście \(\displaystyle{ 0}\).
Badanie \(\displaystyle{ f(x,0)}\) od razu pokazuje, że jest to równe \(\displaystyle{ 0}\) - więc wielkiego sensu nie ma.
Z kolei \(\displaystyle{ f(0,y)}\) - tutaj zostanie \(\displaystyle{ y\ln(y^2+1)}\) i to nie jest ekstremum (analogia jak w poprzednim przykładzie) - więc ekstremum w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje. Dobrze?

[liu]

Dokładnie

[legolas]

Ok, to jeszcze dla pewności, że umiem
Sytuacja jak w poprzednich przykładach, funkcja:

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^4-y^3-4y^2-4y=x^4-y(y+2)^2}\)

punkt stacjonarny: \(\displaystyle{ (0,-2)}\)

Dla \(\displaystyle{ f(x,-2)}\) rzeczywiście w \(\displaystyle{ x=0}\) mamy minimum, więc póki co jest ok.

Dla \(\displaystyle{ f(0,y)}\) mamy \(\displaystyle{ -y(y+2)^2}\) no i nie mamy tu żadnego ekstremum dla \(\displaystyle{ y=-2}\). Także ekstremum nie istnieje.

[AloneAngel]

Funkcja \(\displaystyle{ -y(y+2)^2}\) ma ekstremum dla \(\displaystyle{ y = -2}\) - jest to minimum lokalne. Co więcej Twoja wyjściowa funkcja w punkcie \(\displaystyle{ (0,-2)}\) posiada minimum lokalne (co oczywiście nie wynika z tego, że na tamtych dwóch prostych je przyjmuje).