Matematyka.pl

Witam wszytkich forumowiczow!

Mam do Was prosbe a wlasciwie zadanko... oraz jesli to mozliwe to prosze o jakis prosty sposob rozwiazywania i krotkie wytlumaczenie. Bede bardzo wdzieczny

Wyznaczyc ekstrema funkcji

\(\displaystyle{ f(x,y) = x^{2} + 2xy - 4lnx - 2lny}\)

Z gory wielkie dzieki!
Pozdrawiam!

Dziedzina danej funkcji: x>0 i y>0

Z warunków \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=0 \ i \ \frac{\partial f}{\partial y}=0}\) wyznaczamy punkty podejrzane o ekstremum.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y-4\frac{1}{x}=0\\\frac{\partial f}{\partial y}=2x-2\frac{1}{y}=0\end{cases}}\)
Rozwiązując dany układ otrzymujemy: (1,1),(-1,-1). Biorąc pod uwage dziedzine funkcji eliminujemy punkt (-1,-1). Zatem punkt podejrzany o ekstremum to (1,1).

Obliczamy W((1,1)):
\(\displaystyle{ W((1,1))= \left|\begin{array}{cc}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(1,1)&\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(1,1)\\\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(1,1)&\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(1,1)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}6&2\\2&2\end{array}\right|=12-4=8}\)
W((1,1))>0,oznacza to,że punkt (1,1) jest ekstremum danej funkcji. Ponadto \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(1,1)>0}\),czyli w punkcie (1,1) funkcja f osiąga minimum.

Dziekuje pieknie :D