Matematyka.pl

Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \log_x y}\) gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52

zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}}\)
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) \right)}\) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}}\)

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)

\(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\}\)

licząc pochodną \(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}}\) po x, należy zastosować pewne podstawienie:
\(\displaystyle{ x= e^{\ln{x}}}\)

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
\(\displaystyle{ z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\}\)
i teraz podstawiamy:
\(\displaystyle{ z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
\frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)' }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}}\)

zauważmy, iż \(\displaystyle{ e^u=x^{\frac{y}{x}}}\)

daje to nam ostatecznie:
\(\displaystyle{ f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)}\)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej.
Winno wyjść:
\(\displaystyle{ f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}}\)

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda

Z definicji logarytmu:

\(\displaystyle{ f= \log _{x}y \Leftrightarrow x ^{f}=y}\)

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \(\displaystyle{ \ln (x ^{f}) = \ln (y) \Leftrightarrow f \cdot \ln(x)=\ln(y) \Leftrightarrow f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}}\)

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Stąd bezpośrednio:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x } = \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y) \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot \ln ^ {2}(x)} \\ \\
\frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{1}{y \cdot \ln(x)}}\)