Matematyka.pl

Witam!
Nie korzystając z interpretacji geometrycznej wykaż nierówności:
\(\displaystyle{ \sin{x} < x < \tan {x}}\) dla \(\displaystyle{ x (0,\frac{\pi}{2})}\).
Podejrzewam, że należy skorzystać z rachunku różniczkowego, ale pomimo wielu prób nie udało mi się wpaść na właściwy trop.

Udowodnimy dwie nierówności, tj.
I \(\displaystyle{ \sin x }\)
II \(\displaystyle{ x }\)

ad I
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin x - x}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f'(x) = \cos x - 1}\)
A ponieważ f(0) = 0 i f'(x) \(\displaystyle{ \sin x - x }\)

ad II
Analogicznie

Cały zabieg jest trochę bez sensu, bo przy liczeniu pochodnej funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \sin x}\) korzystamy z dowodzonej nierówności...

max, zgadza się, ale skoro należy zastosować wiedzę z rachunku różniczkowego to jest jakiś inny sposób

Nie wiem, po prostu stwierdziłem, że to jest dowód przez założenie tezy. Niewykluczone, że autor zadania miał właśnie coś takiego na myśli, choć mam nadzieję, że nie...
Mogę spytać skąd to zadanie pochodzi?

Witam!
Nigdzie nie było narzucone, by skorzystać z rachunku różniczkowego, tylko tak zasugerowałem na początku. To wydaje się jednak najbardziej logiczne.
Zadanie 1. z 1.1.2 Rok 2003 - Termin II (strona 3 u dołu):