funkacja f: RxR->R ma wzór \(\displaystyle{ f(x,y)= e^{x-y}(x^{2}-2y^{2})}\) wyznacz ekstrema lokalne jak to rozwiazac pomocy !!
_____
Formuły matematyczne należy umieszczać w klamrach \(\displaystyle{
bolo}\)
wyznacz ekstrema lokalne
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
wyznacz ekstrema lokalne
Liczymy pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 2xe^{x - y} + (x^2 - 2y^2)e^{x - y} = e^{x - y} (x^2 +2x - 2y^2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = -4ye^{x - y} - (x^2 - 2y^2)e^{x - y} = e^{x - y} (2y^2-4y-x^2)}\)
I szukamy ich miejsc zerowych, czyli mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2 +2x - 2y^2=0 \\ 2y^2-4y-x^2=0
\end{cases}}\)
Rozwiązania tego równania są podejrzane o bycie ekstremami lokalnymi (spełniony warunek konieczny). Są to w naszym przypadku punkty \(\displaystyle{ \{(0,0),(-4,-2)\}}\).
Teraz żeby zbadać czy są to ekstrema liczymy pochodne rzędu drugiego i ich wyznacznik, czyli:
\(\displaystyle{ W = \left|\begin{array}{cc}\frac{d^2f}{dx^2}&\frac{d^2f}{dxdy}\\
\frac{d^2f}{dxdy}&\frac{d^2f}{dy^2}\end{array}\right|}\)
Jeśli wyznacznik w danym punkcie jest większy od zera to mamy ekstremum lokalne i jest to minimum, gdy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2} > 0}\) a gdy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2} < 0}\) to maksimum.
Mam nadzieję, że sobie już doliczysz. Powodzenia.
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 2xe^{x - y} + (x^2 - 2y^2)e^{x - y} = e^{x - y} (x^2 +2x - 2y^2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = -4ye^{x - y} - (x^2 - 2y^2)e^{x - y} = e^{x - y} (2y^2-4y-x^2)}\)
I szukamy ich miejsc zerowych, czyli mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2 +2x - 2y^2=0 \\ 2y^2-4y-x^2=0
\end{cases}}\)
Rozwiązania tego równania są podejrzane o bycie ekstremami lokalnymi (spełniony warunek konieczny). Są to w naszym przypadku punkty \(\displaystyle{ \{(0,0),(-4,-2)\}}\).
Teraz żeby zbadać czy są to ekstrema liczymy pochodne rzędu drugiego i ich wyznacznik, czyli:
\(\displaystyle{ W = \left|\begin{array}{cc}\frac{d^2f}{dx^2}&\frac{d^2f}{dxdy}\\
\frac{d^2f}{dxdy}&\frac{d^2f}{dy^2}\end{array}\right|}\)
Jeśli wyznacznik w danym punkcie jest większy od zera to mamy ekstremum lokalne i jest to minimum, gdy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2} > 0}\) a gdy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2} < 0}\) to maksimum.
Mam nadzieję, że sobie już doliczysz. Powodzenia.