Udowodnić, że równanie okreśła jedną funkcję uwikłaną

[Poszukujaca]

Mam udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ 2y+ \sin y -2x=0}\) określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną \(\displaystyle{ y =\varphi (x)}\).

Po pierwsze.. co oznacza, że równanie określa jedną funkcję?

[rafalpw]

Zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ f(y)=2y+\sin y}\) jest ściśle rosnąca na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i jej zbiorem wartości jest całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Zatem dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) istnieje dokładnie jeden \(\displaystyle{ y\left( x \right) \in \mathbb{R}}\) taki, że \(\displaystyle{ 2y\left( x \right)+ \sin y\left( x \right) =2x}\).

[Poszukujaca]

Nie do końca rozumiem.

Skąd wiemy, że funkcja jest rosnąca?

Gdy policzę pierwszą pochodną otrzymuję \(\displaystyle{ \cos y \cdot y'(x)=0}\).

[SlotaWoj]

Gdy policzę pierwszą pochodną ...

• \(\displaystyle{ \frac{d}{dy}f(y)=\cos y+2}\)

[Poszukujaca]

To co napisałam wyżej, jest zupełnie źle.

Ale licząc jeszcze raz pochodną tej funkcji otrzymuję jeszcze inny wynik.

Przyjmuję oznaczenie \(\displaystyle{ x(y)}\), ponieważ ono wskazuje mi na to, że \(\displaystyle{ y}\) jest moją zmienną, a \(\displaystyle{ x}\) określa wartość funkcji względem tej zmiennej. Sądzę, że \(\displaystyle{ f(y)}\) to to samo oznaczenie, co \(\displaystyle{ x(y)}\). Tak samo jak \(\displaystyle{ y(x)}\) i \(\displaystyle{ f(x)}\). Czy dobrze myślę?

Mam: \(\displaystyle{ 2y+ \sin y -2x =0}\)
\(\displaystyle{ 2y+ \sin y - 2x(y)=0}\)
różniczkując obustronnie dostaję: \(\displaystyle{ 2+\cos y -2x'(y)=0}\)
\(\displaystyle{ x'(y)=\frac{1}{2} \cos y +1}\)

[rafalpw]

Zapomnij na chwilę o teorii funkcji uwikłanych. \(\displaystyle{ f}\) to zwykła funkcja jednej zmiennej, która jest ściśle rosnąca i jej zbiór wartości to \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), co oznacza właśnie tyle, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieje dokładnie jeden \(\displaystyle{ y}\) (oznaczam przez \(\displaystyle{ y(x)}\), bo zależy od \(\displaystyle{ x}\)) taki, że \(\displaystyle{ f(y(x))=2x}\).

[Poszukujaca]

Dobrze, czyli mam spojrzeć na tę funkcję jako na funkcję jednej zmiennej, gdzie dziedzinę tworzą \(\displaystyle{ y \in \RR}\), a zbiór wartości \(\displaystyle{ x \in \RR}\).
Wtedy mam \(\displaystyle{ x = y + \frac{1}{2} \sin y}\)

No nawet "blisko tej funkcji do liniowej", bo dal każdego \(\displaystyle{ y \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ \sin y}\), który jest pewną wartością "małą", bo z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\).

Ale jeśli miałabym z pochodnych pokazać, że ta funkcja jest rosnąca, to się nie zgadza.

[SlotaWoj]

Ale jeśli miałabym z pochodnych pokazać, że ta funkcja jest rosnąca, to się nie zgadza.

Jak to nie jest rosnąca?

• \(\displaystyle{ \mathop{\forall}_{y\in\RR}\ x'(y)=\frac{1}{2}\cos y+1>0}\)

[Poszukujaca]

SlotaWoj, oczywiście! To tylko moje zaćmienie.

A wracając do tego, co mam udowodnić, to na razie wiem, że \(\displaystyle{ x=y+\frac{1}{2} \sin y}\) jest funkcją, którą mogę traktować jako jawną - rozwikłaną.

Czy mam pokazać, że zamieniając x na y w tym wzorze, nie otrzymam już funkcji?

Czy równanie zwykle opisuje dwie funkcje?

[rafalpw]

Powtórzę, bo nie wiem jak inaczej to napisać. Pokazałem już, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieje dokładnie jeden \(\displaystyle{ y(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ 2y(x)+ \sin y(x) -2x=0}\). Zatem Twoją szukaną funkcją uwikłaną jest przyporządkowanie: \(\displaystyle{ x \mapsto y(x)}\).

[Poszukujaca]

Dobrze.

Gdyby to równanie zredukować do \(\displaystyle{ 2y-2x=0}\), to opisywałoby dwie funkcje:
\(\displaystyle{ x \mapsto y(x)}\) i \(\displaystyle{ y \mapsto x(y)}\).

Tak?

[rafalpw]

Tak, ale nie trzeba redukować, bo w Twoim równaniu też są opisane dwie funkcje \(\displaystyle{ y \mapsto x(y)}\) i \(\displaystyle{ x \mapsto y(x)}\) i obie są wyznaczone jednoznacznie (jako funkcje odpowiednich argumentów).

[Poszukujaca]

Czyli teza, którą mam udowodnić w zadaniu jest nieprawdziwa?

[rafalpw]

Jest prawdziwa, bo trzeba pokazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ y=\varphi(x)}\). I to jest prawda. Prawdą jest też, że istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ x=\eta(y)}\), ale to jest trywialne, bo nawet umiemy ją wyznaczyć: \(\displaystyle{ x=\eta(y)=y+ \frac{1}{2} \sin y}\). Funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) nie umiemy wyznaczyć, pokazaliśmy jedynie, że istnieje (oraz jej jednoznaczność).

[SlotaWoj]

Przeczytaj to, co Rafalpw napisał w swoim pierwszym poście i kolejne posty też. Tam jest wszystko co niezbędne, aby rozstrzygnąć jaka jest teza.