Matematyka.pl

Mam problem z rozwiązywaniem takiego typu równań:
\(\displaystyle{ (7x+3y)+(3x-5y)\frac{dy}{dx}=0}\)
Robie to tak:
\(\displaystyle{ P(x,y)=7x+3y}\)
\(\displaystyle{ Q(x,y)=3x-5y}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial x}=3}\)

Czyli \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\)
A więc jest to równanie zupełne

\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x}=P(x,y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y)}\)


\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x}=7x+3y}\)
\(\displaystyle{ F(x,y)=\int(7x+3y)dx}\)
\(\displaystyle{ F(x,y)=\frac{7}{2}x^{2}+3yx+\varphi (y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y}=3x+\varphi '(y)}\)
\(\displaystyle{ 3x+\varphi '(y)=3x-5y}\)
\(\displaystyle{ \varphi '(y)=-5y}\)
\(\displaystyle{ \varphi (y)=\frac{5}{2}y^{2}}\)

Wychodzi mi \(\displaystyle{ F(x,y)=\frac{7}{2}x^{2}+3yx-\frac{5}{2}y^{2}}\)
A powinno \(\displaystyle{ 7x^{2}+6yx-5}y^{2}}\)
Nie mam pojęcia gdzie robie błędy, ale jak rozwiązuje równania zupełne z krysickiego to prawie wszystkie wyniki różnią mi się od końcowych o te współczynniki przed zmiennymi.

Nie, nie, nie.
Jak już Ci coś wychodzi, to:
\(\displaystyle{ \frac{7}{2}x^2 + 3yx - \frac{5}{2} y^2 = C}\)
Teraz można powiedzieć, że coś wyszło. Jeżeli przemnożysz teraz to równanie przez 2 i zastąpisz C jakąś inną stałą, np C' to będzie OK!

Czyli sugerujesz ze rozwiązanie
\(\displaystyle{ \frac{7}{2}x^{2}+3yx-\frac{5}{2}y^{2}=C}\)
jest poprawne?
Robiłem zadania z krysickiego i wychodziło mi tak:
\(\displaystyle{ x-y+(2y-x)\frac{dy}{dx}=0}\)
Wyszło mi
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^{2}-yx+y^{2}=C}\)
a w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2xy=0}\)

Albo kolejny przykład:
\(\displaystyle{ x+y+(2y+x)\frac{dy}{dx}=0}\)
Wyszło mi
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}+2xy=C}\)
a w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ x^{2}+2xy+2y^{2}=C}\)

Czy to sa poprawne rozwiazania? Skad mi się wzieły te rozbieżności?

W pierszym wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2} - xy + y^2 = C}\)
Natomiast w drugim:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2} + xy + y^2 = C}\)

Racja w pierwszym wyszło mi tak jak Tobie, a w drugim to ja popelnilem blad, ale jak zrobiłem 2gi raz to wyszło mi tak jak Tobie...
Wiec czemu te odpowiedzi są inne niz z tyłu w książce? To raczej nie jest błąd bo nie wydaje mi sie żeby az tyle błędów było w krysickim
I ponawiam pytanie: Czy w pierwszym przypadku rozwiązanie
\(\displaystyle{ \frac{7}{2}x^{2}+3yx-\frac{5}{2}y^{2}=C}\)
jest poprawne?

Tak, w pierwszym przypadku Twoje rozwiązanie jest poprawne.

A co do wyników to czasami zdarzają się pomyłki - zwłaszcza jak masz stare wydanie Analizy matematycznej w zadaniach.

PS. Jak masz nadal wątpliwości, to przemnóż sobie "najpierwsiejsze" równanie przez 2 i natępnie zacznij rozwiązywać!

Ok rozumiem Dzięki wielkie