1. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{y^{2}}{x}}\)
2.\(\displaystyle{ e^{y}(1+x^{2})\frac{dy}{dx}-2x(1+e^{y})=0}\)
Równania różniczkowe o zmiennych rodzielonych.
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Równania różniczkowe o zmiennych rodzielonych.
ad 2.
Podstawmy \(\displaystyle{ p = e^y, \quad p' = e^y y'}\)
Równanie sprowadza się do postaci:
\(\displaystyle{ (1+x^2)p' - 2x (1+p) = 0}\)
Rozdzielamy zmienne:
\(\displaystyle{ (1+x^2) \frac{dp}{dx} = 2x (1+p)\\
\frac{dp}{1+p} = \frac{2x}{1+x^2}\\
\ln |1+p| = \ln |1+x^2| + C\\
1 + p = C(1+x^2)\\
p = C(1+x^2) - 1\\
y = \ln ft( C(1+x^2) - 1 \right)}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ p = e^y, \quad p' = e^y y'}\)
Równanie sprowadza się do postaci:
\(\displaystyle{ (1+x^2)p' - 2x (1+p) = 0}\)
Rozdzielamy zmienne:
\(\displaystyle{ (1+x^2) \frac{dp}{dx} = 2x (1+p)\\
\frac{dp}{1+p} = \frac{2x}{1+x^2}\\
\ln |1+p| = \ln |1+x^2| + C\\
1 + p = C(1+x^2)\\
p = C(1+x^2) - 1\\
y = \ln ft( C(1+x^2) - 1 \right)}\)