Równania różniczkowe o zmiennych rodzielonych.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
robert179
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 469
Rejestracja: 24 lip 2005, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 111 razy
Pomógł: 13 razy

Równania różniczkowe o zmiennych rodzielonych.

Post autor: robert179 » 28 sie 2007, o 11:24

1. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{y^{2}}{x}}\)

2.\(\displaystyle{ e^{y}(1+x^{2})\frac{dy}{dx}-2x(1+e^{y})=0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równania różniczkowe o zmiennych rodzielonych.

Post autor: luka52 » 28 sie 2007, o 11:53

ad 2.
Podstawmy \(\displaystyle{ p = e^y, \quad p' = e^y y'}\)
Równanie sprowadza się do postaci:
\(\displaystyle{ (1+x^2)p' - 2x (1+p) = 0}\)
Rozdzielamy zmienne:
\(\displaystyle{ (1+x^2) \frac{dp}{dx} = 2x (1+p)\\
\frac{dp}{1+p} = \frac{2x}{1+x^2}\\
\ln |1+p| = \ln |1+x^2| + C\\
1 + p = C(1+x^2)\\
p = C(1+x^2) - 1\\
y = \ln ft( C(1+x^2) - 1 \right)}\)

ODPOWIEDZ