Pokazać istnienie punktu

[Dario1]

\(\displaystyle{ f:\left[ 0,1\right] \rightarrow R}\)-ciągła
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{f\left( x+ \frac{1}{3} \right)+f\left( x+ \frac{2}{3} \right) }{x}=1}\)
Pokaż, że istnieje punkt \(\displaystyle{ c \in \left[ 0,1\right]}\), że \(\displaystyle{ f\left( c\right)=0}\)

[szw1710]

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{3}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ f\left(\frac{2}{3}\right)}\) są dodatnie. Wtedy istnieje stała \(\displaystyle{ M>0}\) taka, że \(\displaystyle{ f(t)>M}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i w otoczeniu \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Przeczy to naszemu warunkowi granicznemu.

Sam rozważ przypadek obu wartości ujemnych.

[Dario1]

Nie bardzo rozumiem. Możesz wytłumaczyć z tymi stałymi w otoczeniu?

[szw1710]

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła oraz \(\displaystyle{ f(x_0)>0}\), to \(\displaystyle{ f(x)>0}\) w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_0}\). Biorąc ewentualnie mniejszy przedział domknięty, można uzyskać (w tym właśnie przedziale) to, że \(\displaystyle{ f(x)\ge M}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ M>0}\).

[Qń]

Można też zauważyć, że skoro granica mianownika w zerze to zero, a granica licznika w zerze to \(\displaystyle{ f\left( \frac 13\right) +f\left( \frac 23\right)}\), to jedyną możliwością by cały ułamek dążył do zera jest \(\displaystyle{ f\left( \frac 13\right) +f\left( \frac 23\right)=0}\). I dalej łatwo.

Q.

[Dario1]

szw1710 no ok rozumiem, jednak co z tego wynika?

Qń czyli dostajemy, że \(\displaystyle{ f\left( \frac 13\right) +f\left( \frac 23\right)=0}\)
I to dalej jakoś z twierdzenia Darboux?

[szw1710]

Z tego wynika, że ta granica musiałaby być (przynajmniej jednostronnie) niewłaściwa.

[Dario1]

To znaczy jak rozumiem, wtedy licznik byłby liczbą różną od zera, albo dążył do takiej liczby, czyli z tego granica nie wyjdzie 1 tak?

[szw1710]

Zapisz oszacowanie przy \(\displaystyle{ x>0}\): \(\displaystyle{ \frac{2M}{x}\le\frac{f(1/3)+f(2/3)}{x}}\) i przejdź z \(\displaystyle{ x\to 0^+}\).

Skoro napisałem Ci gotowca, to odpowiedz na dwa pytania:

1. Gdzie naprawdę leży miejsce zerowe?
2. Na ile istotne tu są punkty \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), tzn. czy można je podmienić innymi?

[Dario1]

Hmm no tak mniemam, że dla dwóch ujemnych będzie podobnie tylko oszacowanie z góry, więc dobrze będzie dla przeciwnych znaków, zatem co do 1. to miejsce zerowe leży gdzieś między \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).
Co do 2. to nie jestem pewien, ale chyba można podmienić je dowolnymi liczbami z zakresu \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\). Zgadza się?

[szw1710]

Tak jest.