Matematyka.pl

mam problem z równaniami rózniczkowymi nie wiem jak je rozwazać prosze o pomoc :)
rozwiązać równania różniczkowe:
a)\(\displaystyle{ e^x\cdot y' =y^2}\)
b)\(\displaystyle{ yy'=e}\)
c)\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=\frac {e^x}{x}}\)
d)\(\displaystyle{ e^x\cdot y'=y}\)
e)\(\displaystyle{ y'sinx-ycosx=1}\)
f)\(\displaystyle{ xy'= \ln ^{2}x}\)
jezeli y(e)=1
g)\(\displaystyle{ y'-3y=e^{2x}}\)
z góry dziekuje:):)

ad a)
met.rozdzielania zmiennych się kłania

\(\displaystyle{ e^x\frac{dy}{dx}=y^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{e^x}}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{dy}{y^2}}=\int{\frac{dx}{e^x}}}\)
po rozwiązaniu całek dostajesz
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{e^{-x}+c}}\)

analogicznie na pewno przykład b), d), f)

W przykładzie e) jest błąd w zapisie - to ma być \(\displaystyle{ cosx}\) czy \(\displaystyle{ cos y}\) ?
Jeśli ma być \(\displaystyle{ cos y}\), to metodą jak wyżej.

ad) g)
krok.1. rozwiąż równanie jednorodne (można metodą jak wyżej)
\(\displaystyle{ y'-3y=0}\)
rozwiązanie \(\displaystyle{ y=Ce^{3x}}\)
krok.2. znajdź rozwiązanie szczególne np. metodą uzmienniania stałej
\(\displaystyle{ y=C(x)e^{3x}}\)
policz pochodne i podstaw do rownania , otrzymujesz
\(\displaystyle{ C'e^{3x}+3Ce^{3x}-3Ce^{3x}=e^{2x}}\)
stąd
\(\displaystyle{ C'=e^{-x}}\)
odcałkowujemy obustronnie
\(\displaystyle{ C=-e^{-x}+C_2}\)
więc rozwiązanie szczególne to
\(\displaystyle{ y=(-e^{-x}+C_2)Ce^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y=-Ce^{2x}+Ce^{3x}}\)
krok.3. rozwiązaniem równania wyjściowego jest suma rozwiązania jednorodnego i szczególnego

ad. b
\(\displaystyle{ yy'=e ftrightarrow ydy=edx}\)
Całkujemy obustronnie i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}y^{2}=ex+C}\),zatem \(\displaystyle{ y=\sqrt{2ex+2C}}\)

ad. c
Najpierw rozwiązyjemy równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=0 ftrightarrow \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}}\)
Całkujemy obustronnie i otrzymujemy
\(\displaystyle{ lny=-lnx+C}\),zatem \(\displaystyle{ y=\frac{C_{1}}{x}}\)
Uzmienniemy stałą \(\displaystyle{ C_{1}}\) i rozwiązujemy równanie rózniczkowe na \(\displaystyle{ C_{1}}\):
\(\displaystyle{ C_{1}'=e^{x}}\),czyli \(\displaystyle{ C_{1}=e^{x}+C_{2}}\)
Ostatecznie rozwiązanie równania niejednorodnego ma postać:
\(\displaystyle{ y=\frac{e^{x}+C_{2}}{x}}\)

ad. d
tutaj wynik mam w postaci uwikłanej.
\(\displaystyle{ e^{x}y'=y ftrightarrow \frac{dy}{y}=e^{-x}dx}\),całkujemy i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ lny=-e^{-x}+C}\)

ad. e
Najpierw równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=\frac{\cos x}{\sin x}dx}\),czałkujemy i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ lny = ln(\sin x) +C}\),zatem \(\displaystyle{ y=C_{1} \sin x}\).
Uzmienniamy stałą i rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ C_{1}'=\frac{1}{\sin^{2}x}}\),z którego otrzymujemy,że \(\displaystyle{ C_{1}=-ctgx+C_{2}}\).
Zatem rozwiąznie danego równania ma postać \(\displaystyle{ y=(-ctgx+C_{2}) \sin x}\)