Matematyka.pl

Haj... Mam ogromną prośbę o pomoc w rozwiązaniu równań różniczkowych, z którymi mam niestety problemy

1. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}}\)
2. \(\displaystyle{ xy' -y = xtg\frac{y}{x}}\)
3. \(\displaystyle{ y''+2y' = x^2 +1}\)
4. \(\displaystyle{ y' - \frac{2}{x}y = x^2 +1}\)

Z góry bardzo dziękuję za pomoc ...

ad 1.
\(\displaystyle{ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x} y = ux, \quad y' = u'x + u}\)
Równanie przyjmie postać:
\(\displaystyle{ u'x + u = \frac{1}{u} + u \ldots}\)

ad 2.
Dzielimy obustronnie przez x i podstawienie jak w 1.

ad 3.
Przez podstawienie \(\displaystyle{ p = y'}\) można sprowadzić równanie do równania rzędu pierwszego i rozwiązywać standardowo - tj. najpierw równanie jednorodne a następnie uzmiennić stałą lub przewidywać.

ad 4.
Najpierw rozwiąż równanie jednorodne a następnie uzmiennij stałą.

Jeżeli nadal będziesz miał problemy, to napisz z czym dokładniej jest problem.

Wielkie dzięki...