Dyskusuja równania krzywej loksodromicznej

[dr. Jan Nowak]

Witam,
chciałbym w niniejszym temacie omówić zagadnienie równania krzywej loksodromicznej i przedyskutować jego zastosowanie dla poszczególnych przypadków i metod rozwiązywania.

[ Dodano: 24 Sierpnia 2007, 20:30 ]
Loksodroma to bok trójkąta sferycznego łączący dwa punkty na kuli ziemskiej przecinający południki pod tym samym kątem.
Oznaczywszy obie połówki osi elipsoidy ziemskiej, większej przez \(\displaystyle{ a}\), mniejszej przez \(\displaystyle{ b}\), otrzymamy równanie powierzchni elipsoidy ziemskiej:

(1)

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1}\)

[ Dodano: 25 Sierpnia 2007, 11:58 ]
Niech będzie dany dowolny punkt \(\displaystyle{ (uvw)}\) powierzchni elipsoidy ziemskiej. Z równania (1) otrzymujemy:

(2)

\(\displaystyle{ \frac{u^{2}+v^{2}}{a^{2}}+\frac{w^{2}}{b^{2}}=1}\)

Równanie normalnej do powierzcni elipsoidy ziemskiej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (uvw)}\) ma postać:

(3)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-u=-{\frac{dw}{du}(z-w)}\\y-v=-{\frac{dw}{dv}(z-w)}\end{cases}}\)

Ma ktoś ochotę znaleźć teraz pochodne: \(\displaystyle{ \frac{dw}{du}}\) i \(\displaystyle{ \frac{dw}{dv}}\)?

[luka52]

\(\displaystyle{ w = b \sqrt{1 - \frac{u^2 + v^2}{a^2}}\\
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{bu}{a^2 \sqrt{1 - \frac{u^2 + v^2}{a^2}}}\\
\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{bv}{a^2 \sqrt{1 - \frac{u^2 + v^2}{a^2}}}}\)
O coś takiego chodziło

[dr. Jan Nowak]

Pochodne \(\displaystyle{ \frac{dw}{du}}\) i \(\displaystyle{ \frac{dw}{dv}}\) wyznaczamy z równania (2)
skąd powinniśmy otrzymać:
\(\displaystyle{ \frac{dw}{du}=-\frac{b^{2}u}{a^{2}w}}\),
\(\displaystyle{ \frac{dw}{dv}=-\frac{b^{2}v}{a^{2}w}}\);