pochodne kierunkowe

[mac412]

Witam. mam problem z zadaniem, nie wiem jak się za nie zabrać, więc prosze o pomoc.
Obliczyc pochodne kierunkowe funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^4+y^4+2xy+1}\) w punkcie (1,2) w kierunku wektora u=[3,-1]. Z góry dziękuje za pomoc

Poprawiłem zapis. luka52

[luka52]

\(\displaystyle{ \nabla_u f(x,y) = \nabla f \circ \vec{u } = ft[ 4x^3 + 2y, 4y^3 + 2x \right] \circ ft[3, -1 \right] = 12 x^3 + 6y - 4 y^3 - 2x\\
\nabla_u f(1,2) = 12 + 12 - 4 8 - 2 = -10}\)

[panfilek]

Wiem, że temat bradzo stary ale postanowiłem go poprawić bo może komuś pomoże w przyszłości:
\(\displaystyle{ fx'(x,y)= 4x^3 + 2y\\
fy'(x,y)= 4y^3 + 2x}\)
Korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ f'L(x,y)= \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}} \cdot fx'(x,y)+\frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}} \cdot fy'(x,y)}\)
Gdzie A,B to \(\displaystyle{ [A,B]}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ f _{[1,2]} (x,y)= \frac{3 \cdot (4x^3 + 2 y)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}}+\frac{-1 \cdot (4y^3+2x)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}} = \frac{12x^3+6y-4y^3-2x}{ \sqrt{10}} = \frac{12 \cdot 1^3+6 \cdot (-2)-4 \cdot (-2)^3 \cdot 2x}{ \sqrt{10}} = \frac{-12}{ \sqrt{10}}}\)

Pozdrawiam mam nadzieje, że komuś pomogę.

[owwca]

pomogłeś:)
strasznie dziekuje!

[Dasio11]

Błędnie.
luka52 chyba zapomniał unormować wektor, więc powinno wyjść \(\displaystyle{ -\frac{10}{\sqrt{10}}.}\)

\(\displaystyle{ f _{[1,2]} (x,y)= \frac{3 \cdot (4x^3 + 2 y)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}}+\frac{-1 \cdot (4y^3+2x)}{ \sqrt{3^2+(-1)^2}} = \frac{12x^3+6y-4y^3-2x}{ \sqrt{10}} = \frac{12 \cdot 1^3+6 \cdot (-2)-4 \cdot (-2)^3 \textcolor{red}{\cdot 2x}}{ \sqrt{10}} = \frac{-12}{ \sqrt{10}}}\)

Tu z kolei wygląda, jakbyś, panfilku, liczył pochodną w punkcie \(\displaystyle{ (1, -2).}\) Poza tym: co tam robi ten \(\displaystyle{ \cdot 2x?}\)

[myszka9]

To jak powinno być rozwiązane to zadanie?
W Banasiu wynik tego zadania to -10. U mnie na zajęciach robiliśmy dokładnie w ten sam sposób.

Jak powinno się poprawnie liczyć pochodne kierunkowe w takim razie?

[Dasio11]

Muszę się poprawić. Rozwiązanie w książce oraz to, które przedstawił luka52, są prawidłowe, gdy definicja pochodnej kierunkowej \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ \mathbf{v}}\) wzdłuż wektora \(\displaystyle{ \mathbf{u}}\) wygląda tak:

\(\displaystyle{ \nabla_{\mathbf{u}} f( \mathbf{v} ) = \lim_{t \to 0} \frac{ f( \mathbf{v} + t \cdot \mathbf{u} ) - f( \mathbf{v} ) }{ t }.}\)

Tej definicji poprzednio nie znałem, więc stosowałem inną:

\(\displaystyle{ \nabla_{\mathbf{u}} f( \mathbf{v} ) = \lim_{t \to 0} \frac{ f( \mathbf{v} + t \cdot \mathbf{u} ) - f( \mathbf{v} ) }{ t \cdot | \mathbf{u} | }.}\)

Stąd bierze się ten dodatkowy czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{10}},}\) który różni nasze wyniki.

[myszka9]

Skąd rozbieżności w definicji?