Matematyka.pl

witam dostałem zadanie w którym nie wiem do końca o co chodzi ... polecenie brzmi: rozwiązać zagadnienie początkowe: y`` - y = 0 gdzie y(0) = 1 i y``(0) = 2. nie wiem także co oznaczają skróty podane w zadaniu: RCH, UF, OR, WP, które występują w poleceniach napisać RCH rozwiązać RCH, UF i OR. bardzo proszę o pomoc w zrozumieniu zadania i rozwiązania go

Jeżeli pojawia się polecenie typu: "rozwiązać zagadnienie początkowe",to chodzi tu o szczególne rozwiązanie,które spełnia zadane warunki początkowe. W takim przypadku rozwiązuje się podane równanie różniczkowe i pojawiaja się stałe (równanie drugiego rzędu,więc pojawią się dwie stałe),czyli otrzymaliśmy rodzinę rozwiązań. Mając podane warunki początkowe wyznaczamy stałe. W ten sposób otrzymujemy rozwiazanie zagadnienia początkowego.

W danym przykładzie mamy:
Rozwiuązujemy równanie y"-y=0, y=y(t)

Dokonujemy podstawienie \(\displaystyle{ y=e^{\lambda t}}\) (\(\displaystyle{ y"=\lambda^{2}e^{\lambda t}}\)) i otrzymujemy RÓWNANIE CHARAKTERYSTYCZNE danego równania (RCH):
\(\displaystyle{ e^{\lambda t}(\lambda^{2}-1)=0}\)
\(\displaystyle{ e^{\lambda t}}\) możemy pominąć,bo to się nie zeruje.

Wyznaczamy,pierwiastki RCH:
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1}\)

Wracamy do podstawienia i wyznaczmy UKŁAD FUNDAMENTALNY danego równania(UF):
\(\displaystyle{ UF = \{ e^{-t},e^{t} \}}\)

Kombinacja liniowa "elementów" z UF tworzy OGÓLNE ROZWIĄZANIE (OR),czyli:
\(\displaystyle{ y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{t}}\)

Wyznaczmy stałe \(\displaystyle{ C_{1},C_{2}}\) z WARUNKÓW POCZĄTKOWYCH (WP):
\(\displaystyle{ (y'=-C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{t})}\)
\(\displaystyle{ y(0)=C_{1}+C_{2}=1 \ i \ y'(0)=-C_{1}+C_{2}=2}\)
Stąd \(\displaystyle{ C_{1}=-\frac{1}{2},C_{2}=\frac{3}{2}}\)

Ostatecznie, rozwiązanie danego zagadnienia ma postać:
\(\displaystyle{ y(t)=-\frac{1}{2} (e^{-t}-3e^{t})}\)

Kasiula@ pisze:Wracamy do podstawienia i wyznaczmy UKŁAD FUNDAMENTALNY danego równania(UF):
UF = { e^{-t},e^{t} }

mam jeszcze pytanko skąd się wziął ten minus przy "t"?

Przewidywaliśmy rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ e^{\lambda t}}\). Z RCH otrzymaliśmy, że \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1}\),stąd \(\displaystyle{ UF= \{ e^{\lambda_{1} t}, e^{\lambda_{2} t }\}}\)

to poprzednie juz nieaktualne, pospieszylem sie z pytaniem zanim pomyslalem... ale interesuje mnie jakby wyglądały dalsze obliczenia gdyby pierwiastki wynosiły -1/2 i 1/2... czy w UF do "e" sa podstawiane tylko znaki pierwiastkow czy tez bedzie e do potegi 1/2t??

Mając rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ e^{\lambda t}}\), w miejsce \(\displaystyle{ \lambda}\) wstawiamy "cały pierwiastek". Gdy będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ UF=\{ e^{-\frac{1}{2}t}, e^{\frac{1}{2}t}}\). Jaki kolwiek otrzymasz pierwiastek z RCH zawsze w "całości" wstawiasz go w miejsce \(\displaystyle{ \lambda}\).

bardzo dziekuje za pomoc zadanie okazalo sie malo skomplikowane ale co mozna zrobic jak sie polecenia nie rozumie dzieki