Strona 1 z 1
różniczkowe z pierwiastkami:/
: 7 sie 2007, o 21:45
autor: kwijatkowski
mam problem z nast równaniem tzn "potrafie" je rozwiązac ale nie wychodzi dobrze...
bede wdzieczny za pomoc
\(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2} y\prime\prime + \sqrt{1-y\prime^2}=0}\)
różniczkowe z pierwiastkami:/
: 8 sie 2007, o 15:34
autor: Kasiula@
Zrobimy podstawienie:
\(\displaystyle{ y'=p, y"=\frac{dp}{dx}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{dp}{\sqrt{1-p^{2}}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)
\(\displaystyle{ arccos p =arcsin x +C \iff p=\cos(arcsinx+C)}\)
Stosując wzór na cos sumy kątów i na przejścia z arcsin na arccos i odwrotnie,otrzymujemy:
\(\displaystyle{ p=C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=\int C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}} dx=\frac{1}{2}C_{1}x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{2}x^{2}\sqrt{1-C_{1}^{2}}+\frac{1}{2}C_{1}arcsinx+C_{2}}\)