Równanie stycznej

[misiek008]

Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) tego okręgu. Jak z tym zadaniem sobie poradzić?

[wb]

Niech prosta ta ma równanie y=px+q.

Musi być ona prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty:
\(\displaystyle{ (a;b)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_0;y_0)}\)

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ (a;b)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_0;y_0)}\) jest równy:
\(\displaystyle{ \frac{y_0-b}{x_0-a}}\)
zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej;
\(\displaystyle{ p=-\frac{x_0-a}{y_0-b}}\).

Ponieważ styczna musi przejść przez punkt \(\displaystyle{ (x_0;y_0)}\) , więc:
\(\displaystyle{ y_0=px_0+q \\ q=y_0-px_0 \\ q=y_0+\frac{x_0-a}{y_0-b}x_0}\) .

Szukane równanie ma więc postać:
\(\displaystyle{ y=-\frac{x_0-a}{y_0-b}x+y_0+\frac{x_0-a}{y_0-b}x_0}\)

[JHN]

Jeśli dobrze pamiętam prosta wskazana przez @wb daje się przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ (x_0 -a)(x-a)+(y_0 -b)(y-b)=r^2}\)

Pozdrawiam

[misiek008]

A skąd się wziął ten współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty (a,b)... ?

[wb]

Wzór prostej przechodzącej przez dwa dane punkty - \(\displaystyle{ (x_1;y_1) \ \ , \ \ \ (x_2;y_2)}\):

\(\displaystyle{ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1)}\)

po zastosowaniu go dla punktów \(\displaystyle{ (a;b) \ \ , \ \ \ (x_0;y_0)}\)
daje podany wynik.

[przemk20]

A moze o takie rozwiązanie ci chodzi:
równanie stycznej ma postać:
\(\displaystyle{ (y-y_0) = y'_0(x-x_0) \\}\)
Aby znależć \(\displaystyle{ y_0 '}\) musimy zrózniczkować równanie okregu, czyli
\(\displaystyle{ 2 (x_0-a) + 2 y_0'(y_0-b) = 0 \iff y_0 ' = - \frac{x_0-a}{y_o-b} \\
y = - \frac{x_0-a}{y_0-b} (x-x_0) + y_0 \\}\)

[misiek008]

Właśnie o to drugie rozwiązanie mi bardziej chodziło. A mógłbyś mi przemk20 wyjaśnić skąd się tam ta pochodna \(\displaystyle{ 2y_0'}\) wzięła a właściwie to \(\displaystyle{ y_0'}\) bo reszta wiem skąd się wzięła.

[przemk20]

Rózniczkuje stronami równanie okręgu, wzgledem x a oczywiscie y=f(x), wiec
\(\displaystyle{ ((y-b)^2) ' = ((f(x) - b)^2 )' = 2( f(x)-b) f'(x) = 2 (y-b) y'}\)
wzor na pochodna f złozonej