Matematyka.pl

Jak policzyć pochodną funkcji której postać jest następująca: \(\displaystyle{ |f(x)|}\)? Dlaczego można policzyć pochodną z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=|x^{4}+2x{3}-3x^{2}|}\) a nie można obliczyć z \(\displaystyle{ f(x)=|log_{2}x|}\)? Ja się uczyłem, że jak funkcja posiada "ostrze" to nie istnieje pochodna, ale już sam nie wiem jak to do końca jest...

koala pisze:Ja się uczyłem, że jak funkcja posiada "ostrze" to nie istnieje pochodna, ale już sam nie wiem jak to do końca jest...

Oczywiście - racja. Jeżeli wykres funkcji jest "złamany" lub "pionowy", to w tym punkcie funkcja nie posiada pochodnej!

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=|\log_{2}x|}\),
to \(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -\log_{2}x & \Leftarrow & x\in(0,1)\\
\log_{2}x & \Leftarrow& x\ge 1 \end{array}}\)
oraz \(\displaystyle{ f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} \frac{-1}{x\cdot \ln{2}}& \Leftarrow & x\in(0,1)\\\\
\frac{1}{x\cdot \ln{2}} & \Leftarrow& x> 1 \end{array}}\)

Czyli dla \(\displaystyle{ x=1}\) pochodna tej funkcji nie istnieje. Ale dla pozostałych argumentów istnieje!

Pozdrawiam

Aby sprawdzić czy funckcja w której występuje wartość bezwzględna jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to trzeba policzyć wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie, w którym wartość bezwzględna zeruje się. Najlepeij robić to z definicji

\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x-3| \\
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2+2(1+h)-3-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2+4h}{h} = \lim_{h \to 0^+} h+4=4}\)

\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-(1+h)^2-2(1+h)+3-0}{h}= \lim_{h\to 0^-} \frac{-h^2-4h}{h} = \lim_{h\to 0^-} -h-4
=-4}\)
Z tego wynika ze pochdne lewstronne i prawostronne w pukcie są różne zatem pochodna \(\displaystyle{ f'(1)}\) nie istnieje a z tego wynika, że funkcja f nie jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Podobnie można sprawdzić czy istnieje \(\displaystyle{ f'(-3)}\)

setch pisze:... Najlepiej robić to z definicji

A gdyby tak:
\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x-3| =\left\{\begin{array}{lcl}-x^2-2x+3&\Leftarrow&x\in(-3,1)\\
x^2+2x-3&\Leftarrow&x\in\left[(-\infty,-3>\cup}\)

JHN, Ty liczyłeś \(\displaystyle{ f'(3)}\) a ja \(\displaystyle{ f'(1)}\). Poza tym według twojego wzoru na pochodną, argumenty 1 i -3 nie należa do dziedziny a nie ma powodu, aby ich wykluczać.

@setch Wnioskując z moich rachunków \(\displaystyle{ f'(1^+)=4}\). A u Ciebie prawostronna granica ilorazu różniczkowego w \(\displaystyle{ x=1}\) jest równa \(\displaystyle{ -4}\). To stoi w sprzeczności!

setch pisze:Poza tym według twojego wzoru na pochodną, argumenty 1 i -3 nie należa do dziedziny a nie ma powodu, aby ich wykluczać.

Ja tego nie twierdzę. Liczę pochodną (wygodnymi technikami) tam, gdzie ona na pewno istnieje; potem sprawdzam (rachunkiem granicznym), czy istnieje ona w pozostałych argumentach

Na przykład dla
\(\displaystyle{ y=f(x)=x\cdot |x|}\) określonej na dziedzinie rzeczywistej mamy

\(\displaystyle{ y'=f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}-2x&\Leftarrow x0\end{array}}\)

Ponieważ jednak
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}f'(x)= \lim_{x\to 0^+}f'(x)=0}\)

to \(\displaystyle{ f'(0)=0}\)
i ostatecznie

\(\displaystyle{ f'(x)=2|x|}\) dla wszystkich argumentów rzeczywistych

Pozdrawiam

[edit] @setch teraz jest OK.

\(\displaystyle{ x\cdot x=x^{2}}\) Tak w woli scislosci

soku11 pisze:\(\displaystyle{ x\cdot x=x^{2}}\) Tak w woli scislosci

Nie do końca zrozumiałem.
Tak gwoli ścisłości, to w moim poście powyżej (co uznałem za oczywiste)
\(\displaystyle{ y=f(x)=x\cdot |x|=\left\{\begin{array}{ll}-x^2&\Leftarrow\quad x}\)

Ehh sory zle spojrzalem Nie zauwazylem ze to f' napisales a nie f :/

A jak wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ln|x|}{\sqrt{|x|}}}\) ? Coś mi ten przykład nie wychodzi

Funkcja ma wiec postac:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{ln(-x)}{\sqrt{(-x)}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\ \frac{lnx}{\sqrt{x}}\ dla\ x\in(0;+\infty) \end{cases}\\}\)

Pierwsza pochodna funkcji wyglada wiec tak:
\(\displaystyle{ f'(x)=\begin{cases} \frac{2+ln(-x)}{2x\sqrt{x}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\ \frac{2-lnx}{2x\sqrt{x}}\ dla\ x\in(0;+\infty)\end{cases}}\)

A druga:
\(\displaystyle{ f''(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{x}(-8-3ln(-x))}{4x^{3}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\
\frac{\sqrt{x}(-8+3lnx)}{4x^{3}}\ dla\ x\in(0;+\infty)\end{cases}}\)

Powinno byc OK. Dalej powinienes sobie poradzic POZDRO

Mam jeszcze problem z policzeniem punktu przegięcia dla \(\displaystyle{ x (-\infty;0)}\). W tym miejscu coś mi się nie zgadza:
\(\displaystyle{ ln(-x)=-\frac{8}{3}}\) i z tego mi wychodzi \(\displaystyle{ x=e^\frac{8}{3}}\) a powinno \(\displaystyle{ x=-e^\frac{8}{3}}\)

To cos chyba zle jest policzone, bo:
\(\displaystyle{ ln(-x)=-\frac{8}{3}\\
ln(-x)=lne^{-\frac{8}{3}}\\
x=-e^{-\frac{8}{3}}}\)

Czyli gdzies ze znakiem jest nie tak... Musisz poszukac. POZDRO

Podaj wszystkie elementy zbioru A
\(\displaystyle{ A=\{x: |x-4|=-2 x R\}\\
|x-4|=-2\\
|x-4|=\begin{cases}x-4\geqslant 0 \ \ x\geqslant 4\\x-4 -x+4=-2\\
x=2 x=6}\)
zbiór \(\displaystyle{ \phi}\)
gut?

Na pewno ma wyjść \(\displaystyle{ x=-e^{-\frac{8}{3}}}\) ?