Pochodna funkcji w punkcie

[Infinis]

Potrzebuję pomocy z następującym przykładem:
Oblicz z definicji pochodną funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{4x+1}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=2}\)

O ile robiąc ten przykład samemu(oraz z kumplem z pokoju) wychodzi mi wynik \(\displaystyle{ 0}\), o tyle prawidłowa odpowiedź wg. klucza to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Która z tych wersji jest prawidłowa?

[szw1710]

Napisz, jak to należy policzyć.

[Chewbacca97]

Wydaje mi się, że błąd masz w zapisie:

\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{4\left({\red 2+h}\right) +1} - \sqrt{4 \cdot 2+1}}{h}}\)

Teraz powinna ci wyjść odpowiedź książkowa.

[szw1710]

Trudno prorokować co było a czego nie było, skoro autor wątku niczego nie napisał. W mojej opinii to zakamuflowana prośba o gotowca.

[Infinis]

Well...
Póki co wyglada to u mnie tak:
\(\displaystyle{ f'(2)= \lim_{h \to 0 } \frac{f(2+h)-f(2)}{h}= \lim_{h \to 0 } \frac{ \sqrt{4(2+h)+1} -3}{h}=\lim_{h \to 0 } \frac{ \sqrt{9+4h} -3}{h}}\)
Licznik zbiega do 0, mianownik niby też... Chyba, iż popełniłem głupi błąd.

[szw1710]

Dobrze rozpisałeś definicję pochodnej. Działaj dalej. Odwołuję stwierdzenie o gotowcu.

[Chewbacca97]

szw1710, faktycznie się pomyliłem - opierałem swój komentarz na obserwacjach z liceum, gdzie to chyba był najczęstszy błąd.

Wskazówka do przykładu: otrzymałeś symbol nieoznaczony, co w takiej sytuacji możesz zrobić?

[szw1710]

Nie widzę, żebyś się pomylił.

[Infinis]

Dobra, chyba jednak już znalazłem prawidłowe rozwiązanie korzystając z \(\displaystyle{ a-b= \frac{ a^{2}- b^{2} }{a+b}}\), dzięki wszystkim (: