Największa i najmniejsz wartość funkcji o trzech zmiennyc

[sabada]

Znajdź najmniejszą i największą wartośc funkcji
f(x,y,z) = 1/(lxl+5) + 1/(lyl+3) + 1/(lzl+4)
w zbiorze {(x,y,z)E R^3: 2lxl+3lyl+4lzl=1}
Czekam na pomoc proszę

[g]

metoda mnoznikow lagrange'a. tylko sie trzeba modulow pozbyc - osiem przypadkow i w cholere liczenia, ale wyjdzie.

[sabada]

bardzo cię proszę pomóż mi jeśli będzie wygodniej proszę napisać w Wordzie lub zeskanować i przesłać na zawadka2@wp.pl błagam bardzo potrzebne zadanie na zaliczenie dla kilku osób

[g]

wlasciwie to inaczej. poloz nowe zmienne \(\displaystyle{ (x',y',z') = (|x|, |y|, |z|)}\) co sprowadzi poszukiwanie ekstremow funkcji \(\displaystyle{ f(x',y',z') = {1 \over x' + 5} + {1 \over y' + 3} + {1 \over z' + 4}}\) przy warunku \(\displaystyle{ 2x' + 3y' + 4z' = 1}\) dla \(\displaystyle{ x',y',z' \geq 0}\). przykro mi, nie chce mi sie liczyc. zadanie sprowadza sie do podstawienia do paru wzorow i rozwiazania jakiegos ukladu rownan, z czym na pewno sobie poradzicie. a jak cos to tablice adamantanu, strona 157.

[sabada]

pochodne zerują się dla x=0 y=0 z=0 ale funkcja nie jest różniczkowalna dla właśnie tych liczb bo pochodna lxl nie istnieje dla x=0 o czym już pisaluiśmy więc jeśli możesz barzo Cię prosimy rozwiąż to zadanie jeśli dla Ciebie jest proste

[Yavien]

1. Robisz funkcje Lagrange'a (nie pisze juz x, y, z z primami ', ale chodzi o ten drugi uklad, ktory podal g w poscie wyzej):
\(\displaystyle{ L(x,y,z,\lambda) = \frac{1}{x+5} + \frac{1}{y+3} + \frac{1}{z+4} +\lambda (2x+3y+4z-1)}\)
liczymy pochodne czastkowe:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{eqnarray}\frac{dL}{dx}&=& -\frac{1}{{(x+5)}^2}\cdot 1 + \lambda\cdot 2 \\ \frac{dL}{dy}&=& -\frac{1}{{(y+3)}^2}\cdot 1 + \lambda\cdot 3 \\ \frac{dL}{dz}&=& -\frac{1}{{(z+4)}^2}\cdot 1 + \lambda\cdot 4\end{eqnarray}\right.}\)
Ponadto jest warunek
\(\displaystyle{ 2x+3y+4z-1 =0}\)
Mamy wiec uklad rownan:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{eqnarray} -\frac{1}{{(x+5)}^2} + 2\lambda &=& 0 \\ -\frac{1}{{(y+3)}^2} + 3\lambda &=& 0 \\ -\frac{1}{{(z+4)}^2} + 4\lambda &=& 0 \\ 2x+3y+4z-1 &=& 0 \end{eqnarray}\right.}\)
Po rozwiazaniu tego ukladu (najpierw z trzech pierwszych wyliczasz x, y, z jako funkcje lambdy, potem wstawiasz do czwartego i masz wartosc lambdy, potem wyliczasz x, y, z) na pewno nie wychodzi x=y=z=0 przeciez wtedy nie jest spelniony warunek

[Pikaczu]

Yyyyyyyyyyyyy....
Nie podoba mi sie ten układ Mathematica wywala coś takiego:

Obrazek wygasł

[Yavien]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{eqnarray} \frac{1}{{(x+5)}^2} &=& 2\lambda \\ \frac{1}{{(y+3)}^2} &=& 3\lambda \\ \frac{1}{{(z+4)}^2} &=& 4\lambda \end{eqnarray}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{eqnarray} \frac{1}{2\lambda} &=& {(x+5)}^2 \\ \frac{1}{3\lambda} &=& {(y+3)}^2 \\ \frac{1}{4\lambda} &=& {(z+4)}^2 \end{eqnarray}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\lambda}} &=& x+5 \\ \frac{1}{\sqrt{3\lambda}} &=& y+3 \\ \frac{1}{\sqrt{4\lambda}} &=& z+4 \end{eqnarray}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\lambda}} - 5 &=& x \\ \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{\lambda}} -3 &=& y \\ \frac{\sqrt{4}}{4\sqrt{\lambda}} -4 &=& z \end{eqnarray}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\lambda}} - 10 &=& 2x \\ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\lambda}} -9 &=& 3y \\ \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\lambda}} -16 &=& 4z \end{eqnarray}\right.}\)
I w koncu:
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray} 0 &=& 2x + 3y + 4z - 1 \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\lambda}} - 10 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\lambda}} -9 + \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{\lambda}} -16 - 1\\ &=& \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} +\sqrt{4}}{\sqrt{\lambda}} - 36 \end{eqnarray}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} +\sqrt{4}}{\sqrt{\lambda}} = 36}\)
\(\displaystyle{ \frac{36}{\sqrt{2} + \sqrt{3} +2} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}}\)

I stad:
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray}x &=& \frac{36\sqrt{2}}{2(\sqrt{2} + \sqrt{3} +2)} - 5 \\ y &=& \frac{36\sqrt{3}}{3(\sqrt{2} + \sqrt{3} +2)} - 3 \\ z &=& \frac{36\sqrt{4}}{4(\sqrt{2} + \sqrt{3} +2)} - 4\end{eqnarray}}\)

[ Dodano: Czw 03 Lut, 2005 17:30 ]
a dalej juz mi sie nie chce

[sabada]

Prosze o dokończenie