Najmniejsze pole powierzchni bocznej stożka

[Adas91]

Witam, nie potrafię rozwiązać następującego zadania:
Pewną substancję przechowuje się w kopcach w kształcie stożka. Jaki powinien być kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy, aby powierzchnia parowania tej substancji(tj. pow. boczna) była najmniejsza?

jest to zadanie z książki Analiza matematyczna 1, odpowiedź: \(\displaystyle{ \arctg 0,7=35^0}\)

Bardzo proszę o wskazówkę bądź rozwiązanie.
Pozdrawiam.

[szw1710]

Oczywiście masz daną objętość \(\displaystyle{ V}\). Wiesz, że \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h}\). Z kolei powierzchnia boczna to \(\displaystyle{ \pi rl}\). Wylicz \(\displaystyle{ l}\) z twierdzenia Pitagorasa wyrażając tę tworzącą w zależności od \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ h}\). Z danej objętości wylicz \(\displaystyle{ h}\). Podstaw to do wzoru na powierzchnię otrzymując zależność tylko od \(\displaystyle{ r}\). Teraz zminimalizuj tę funkcję. Można też wyrazić wszystko od razu w zależności od \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{r}{h}}\). To będzie jeszcze lepsze i bardziej bezpośrednie.

[Adas91]

Otrzymuję \(\displaystyle{ P=\frac{3V}{H}*\frac{1}{\cos \alpha}}\)
liczę pochodną \(\displaystyle{ P'=\frac{3V*\sin\alpha}{H*\cos^2\alpha}}\)
i wychodzi, że dla \(\displaystyle{ 180^0}\)?
Niestety nie wiem gdzie mam błąd.

[szw1710]

Pokaż wszystkie rachunki.

[bosa_Nike]

Niestety nie wiem gdzie mam błąd.

Nie możesz ustalać wysokości, bo stała jest tylko objętość. Ja bym uzależniła wszystko tylko od promienia podstawy i szukanego kąta, a następnie znalazła zależność między \(\displaystyle{ V^2}\), a \(\displaystyle{ P^3}\) - to pozwoli wyrugować promień.

Edit: Wynik uzyskany wg moich wyliczeń różni się od podanej przez Ciebie odpowiedzi.

[41421356]

Czy prawidłowa odpowiedź to:

\(\displaystyle{ \alpha=\arctan\left(\sqrt{2}\right)}\)

?

[kerajs]

Mi wychodzi : \(\displaystyle{ \alpha =\arccos \frac{1}{ \sqrt{3} } }\) , czyli taki sam kąt.

[41421356]

No tak, jedna i druga wartość stanowi tyle samo. Dziękuję za odpowiedź i pozdrawiam!