Dany jest wielomian W(x)=x^3 +ax^2 +bx +1. Wiadomo, ze jest on podzielny bez reszty przez wielomian
P(x)= x^2 +cx +1 oraz ze wspolczynnik kierunkowy stycznej do wykresu wielomiany W(x) w punkcie o odcietej x=1 jest rowny c. Wyznacz a, b i c, a nastepnie znajdz rownanie stycznej do wielomiany W(x) w punkcie o odcietej x=3.
Pochodna w połączeniu z wielomianami
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Pochodna w połączeniu z wielomianami
\(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+bx+1}\)
\(\displaystyle{ W'(x)=3x^2+2ax+b}\)
\(\displaystyle{ W'(1)=3+2a+b}\)
Wynika z tego, że
\(\displaystyle{ c=3+2a+b\,\,\Longleftrightarrow\,\, 2a+b-c+3=0}\)
Wiemy, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+bx+1}\) dzieli się bez reszty przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^2+cx+1}\).
Możemy więc przedstawić wielomian W(x) jako iloczyn P(x) oraz czynnika liniowego, powiedzmy \(\displaystyle{ G(x)=ex+f}\) (nie dzielę pod kreskę, bo na forum nie było by to aż tak widoczne:P).
\(\displaystyle{ G(x)\cdot P(x)=(ex+f)\cdot (x^2+cx+1)=ex^3+cex^2+ex+fx^2+cfx+f=ex^3+x^2(ce+f)+x(e+cf)+f}\).
Przyrównując współczynniki z wielomianem W(x) zauważamy, że f=1 oraz e=1.
\(\displaystyle{ G(x)\cdot P(x)=x^3+x^2(c+1)+x(c+1)+1}\)
c+1=a
c+1=b
2a+b-c+3=0
Rozwiązaniami tego układu są:
a=-2
b=-2
c=-3
Dalej już sobie chyba poradzisz?:)
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
\(\displaystyle{ W'(x)=3x^2+2ax+b}\)
\(\displaystyle{ W'(1)=3+2a+b}\)
Wynika z tego, że
\(\displaystyle{ c=3+2a+b\,\,\Longleftrightarrow\,\, 2a+b-c+3=0}\)
Wiemy, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+bx+1}\) dzieli się bez reszty przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^2+cx+1}\).
Możemy więc przedstawić wielomian W(x) jako iloczyn P(x) oraz czynnika liniowego, powiedzmy \(\displaystyle{ G(x)=ex+f}\) (nie dzielę pod kreskę, bo na forum nie było by to aż tak widoczne:P).
\(\displaystyle{ G(x)\cdot P(x)=(ex+f)\cdot (x^2+cx+1)=ex^3+cex^2+ex+fx^2+cfx+f=ex^3+x^2(ce+f)+x(e+cf)+f}\).
Przyrównując współczynniki z wielomianem W(x) zauważamy, że f=1 oraz e=1.
\(\displaystyle{ G(x)\cdot P(x)=x^3+x^2(c+1)+x(c+1)+1}\)
c+1=a
c+1=b
2a+b-c+3=0
Rozwiązaniami tego układu są:
a=-2
b=-2
c=-3
Dalej już sobie chyba poradzisz?:)
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki