Ekstrema funkcji i punkty przegięcia

[Demo]

Witam,

Najpierw powiem co wiem, a potem zadam pytanie.

Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^4 - 2x^2}\) trzeba znaleźć ekstrema funkcji i punkty przegięcia.

Po przyjrzeniu się funkcji zauważam, że zeruje się ona w punktach:
\(\displaystyle{ x_0 = 0}\)
\(\displaystyle{ x_1 = -\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \sqrt{2}}\)

Po czym liczę kolejne pochodne funkcji aż dojdę do pochodnych zerowych.
\(\displaystyle{ f'(x) = 4x^3 - 4x}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = 12x^2 - 4}\)
\(\displaystyle{ f^{(3)} (x) = 24x}\)
\(\displaystyle{ f^{(4)} (x) = 24}\)
reszta pochodnych to już zera

Liczę przegięcia.
\(\displaystyle{ f'(0) = 0}\) (nie wiemy co to za przegięcie)
\(\displaystyle{ f'(-\sqrt{2} ) = -8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}\) (ponieważ pochodna jest nieparzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 to jest to punkt przegięcia)
\(\displaystyle{ f'(\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}\) (ponieważ pochodna jest nieparzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 to jest to punkt przegięcia)

\(\displaystyle{ f''(0) = -4}\)(ponieważ pochodna jest parzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 oznacza, że nie jest to punkt przegięcia)

I tutaj utknąłem, jestem w stanie na podstawie tego co zrobiłem narysować mniej-więcej jak funkcja \(\displaystyle{ x^4 -2x^2}\) wygląda (ramiona do góry, przecięcia w \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), i odbicie od dołu w punkcie 0), ale za nic nie wiem jakie są dokładne wartości ekstremów tej funkcji.. mógłbym jedynie podać przedziały w których występują.

Proszę o metodę wyliczania ekstremów.

Dziękuję:)

[kamil13151]

Masz pewną nieścisłość: czym się rożni punkt przegięcia od ekstremum?

[kamil13151]

Pierwsza pochodna Źle policzona powinno być \(\displaystyle{ 4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)}\) Pochodna zeruje się dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ -1,0,1\right\}}\) i sprawdzasz czy posiada ona ekstrema w tych punktach i czy są to minima czy maksima, dalej podstawiasz te wartości pod wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\).

[Demo]

Do: kamil13151

Punkty przegięcia to taka wartość \(\displaystyle{ x}\) gdzie wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) z jednej strony są \(\displaystyle{ <0}\) a z drugiej \(\displaystyle{ >0}\).
A ekstrema to wartości x dla których \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje największą, bądź najmniejszą wartość w pewnym sąsiedztwie \(\displaystyle{ S(x_0,\delta)}\) dla \(\displaystyle{ \delta >0}\).

Do: Zahion

Poprawiłem znak, źle go przepisałem:)

Czyli rozumiem, że ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) mają taką samą wartość jak miejsca zerowe \(\displaystyle{ f'(x)}\).

Dziękuję za konkretną odpowieź:)

[Zahion]

Nie. Poczytaj o warunku koniecznym i wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego. W Twoim zadaniu miejsca zerowe pochodnej to \(\displaystyle{ -1, 0, 1}\) Funkcja przyjmuje minima w punktach \(\displaystyle{ -1, 1}\) a maksimum w punkcie \(\displaystyle{ 0}\), aby wyliczyć te wartości ( tj. jakie są te minima/maksima) należy podstawić owe punkty do wzoru funkcji \(\displaystyle{ f}\). Mamy więc, że \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)=-1}\) jest to minimum lokalne i \(\displaystyle{ f(0) = 0}\) jest to maksimum lokalne.

[kamil13151]

Punkty przegięcia to taka wartość \(\displaystyle{ x}\) gdzie wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) z jednej strony są \(\displaystyle{ <0}\) a z drugiej \(\displaystyle{ >0}\).

To jest jedna wielka bzdura.

A ekstrema to wartości x dla których \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje największą, bądź najmniejszą wartość w pewnym sąsiedztwie \(\displaystyle{ S(x_0,\delta)}\) dla \(\displaystyle{ \delta >0}\).

Ta definicja to skąd?

\(\displaystyle{ f'(-\sqrt{2} ) = -8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}\) (ponieważ pochodna jest nieparzysta a wartość jej jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0 to jest to punkt przegięcia)

Mówisz o punktu przegięcia przy pierwszej pochodnej!