Pochodna e do x.

[Dawidk01]

Z czego to wynika, że pochodna \(\displaystyle{ e^{x}}\) to \(\displaystyle{ e^{x}}\) . Liczba e odgrywa - jak zauważyłem, bardzo dużą rolę w matematyce. Ale mam wrażenie, że moja wiedza po dziesięciu miesiącach studiów jest bardzo nieuporządkowana. Umiem liczyć, ale często nie rozumiem co liczę.

[SidCom]

Z definicji pochodnej (jako granicy ilorazu różnicowego)

[Igor V]

Wprost z definicji to wynika.Albo np:
\(\displaystyle{ f(x)=a ^{x}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=a ^{x} \cdot \ln a}\)
Więc jeśli \(\displaystyle{ a=e}\) , to :
\(\displaystyle{ f'(x)=e ^{x} \cdot \ln e= e ^{x}}\)
A wzór na pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=a ^{x}}\) możesz znaleźć w wielu źródłach-- 30 maja 2014, o 18:59 --SidCom, mnie uprzedził

[musialmi]

Dawid, e to magiczna liczba. Jeszcze nie raz cię zaskoczy.

[yorgin]

Pełniejsza byłaby taka odpowiedź:

Z definicji jako granicy ilorazu różnicowego

\(\displaystyle{ \left(\ddfrac{\ }{x}e^x\right)_{x=x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{x_0}(e^h-1)}{h}=\\
\\
=e^{x_0}\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=e^{x_0}\cdot 1=e^{x_0}}\)

[Dawidk01]

yorgin, o tak, zdecydowanie bardziej mnie satysfakcjonująca odpowiedź. Jakieś pięć minut po założeniu tego tematu chciałem go skasować, bo poczytałem sobie trochę o tym, no ale stwierdziłem, że niech zostanie, dla potomności ;p . Na wikipedii to jest dobrze opisane też. Przeanalizowałem jeszcze dowód na granicę, która u Ciebie pojawia się w drugiej linijce. Teraz już jest wszystko chyba jasne