Czy zachodzą podane równości

[madziula1784]

1) Czy dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}}\) klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\)
zachodzi równość: \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2}f}{ \partial y \partial x}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) ?

2) Czy dowolna funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}}\) klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\), której pochodne cząstkowe zerują się na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) jest stała?

[KowalskiMateusz]

1)
Chyba miało być
\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\)?

Tak zachodzi na mocy twierdzenia Schwarza jeśli oczywiście 2 pochodne cząstkowe mieszane są ciągłe.
Czyli \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial x \partial y}, \frac{\partial ^{2}f}{ \partial y \partial x}}\) muszą być ciągłe.