twierdzenie Darboux dla pochodnych

[leszczu450]

Cześć : )

Czytając jeden z podręczników do analizy natykam się na taki kawałek:

"... Dla przykładu udowodnimy ważną i nieco zaskakującą własność, przysługującą pochodnym. Jeśli \(\displaystyle{ f: P \to \mathbb{R}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest przedziałem, jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) , to jej pochodna \(\displaystyle{ f' : P \to \mathbb{R}}\) jest funkcją ciągłą. Zatem jako funkcja ciągła ma ona własność Darboux, tzn. dla dowolonych punktów \(\displaystyle{ x_1 , x_2 \in P , x_1 < x_2}\) i dla dowolonej liczby \(\displaystyle{ \lambda}\) leżącej pomiędzy \(\displaystyle{ f'(x_1) , f'(x_2)}\) istnieje taki argument \(\displaystyle{ x_0 \in \left( x_1, x_2\right)}\), że \(\displaystyle{ f'(x_0)=\lambda}\)... "

Co w tym takiego zaskakującego i w zasadzie co mówi mi ten fakt?

Z góry dziękie za pomoc!

[miodzio1988]

Wszystko co ma być powiedziane masz w zacytowanej treści więc o co konkretnie pytasz?

[leszczu450]

miodzio1988, czemu ten fakt jest zaskakujący?

[miodzio1988]

Dużo rzeczy jest zaskakujących np:

Pytanie stawiane w paradoksie dnia urodzin brzmi: Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 0,5.

Fakt ten jest zaskakujący, prawda? Napiszesz czemu?

Dla mnie w Twoim fakcie nie ma nic szokującego, może autor niedawno się dowiedział o tym, że tak jest?

[norwimaj]

Zaskakujące jest nazwanie tego "faktem dotyczącym pochodnych". Jest to fakt dotyczący funkcji ciągłych, a w tym wypadku jest po prostu założone, że pochodna jest funkcją ciągłą.

Za to zaskakującym faktem może być to, że pochodne mają własność przyjmowania wartości pośrednich nawet wtedy, gdy nie są ciągłe.

[leszczu450]

miodzio1988, wątpie. Autor to profesor zwyczajny.

[miodzio1988]

Tak to po prostu autor określił. Średnio trafnie. Ale takie jest określenie, nie a co myślęc nad tym

[norwimaj]

A czy to nie zostało wyrwane z kontekstu? Może to ma być tylko wprowadzenie do zaskakującego faktu?

[leszczu450]

norwimaj, nie nie. Chodzi tu definitywnie o właność Darboux. Mniejsza o to, czy jest to zaskakujące czy też nie : ) Mógłbyś rozwinąc myśl z poprzedniego posta i powiedzieć jak to możliwe, że mimo, że pochodna może nie być ciągła to nadal mimo wsyzstko przyjmuje wszystkie wartości pośrednie?

[norwimaj]

Standardowym przykładem na to, że pochodna może nie być ciągła, jest

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin x&\text{dla }x\in\RR\setminus\{0\}\\0&\text{dla }x=0.\end{cases}}\)

Żeby udowodnić własność Darboux pochodnych, można najpierw pokazać, że istnieje iloraz różnicowy funkcji \(\displaystyle{ f}\) o wartości \(\displaystyle{ \lambda}\), a następnie skorzystać z tw. Lagrange'a. Można chyba też to udowodnić jakimś krótszym sposobem, ale nie pamiętam jak.

[a4karo]

Odkopię ten wątek w ramach ćwiczeń z archeologii.
Oczywiśćie w przykładzie powyżej powinno być \(\displaystyle{ x^2\sin \frac{1}{x}}\).

Proszę udowodnić fakt, o którym tu mowa:
Jeżeli `f:[a,b]\to\RR` jest różniczkowalna, to jej pochodna ma własność Darboux