twierdzenie Darboux dla pochodnych
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
twierdzenie Darboux dla pochodnych
Cześć : )
Czytając jeden z podręczników do analizy natykam się na taki kawałek:
"... Dla przykładu udowodnimy ważną i nieco zaskakującą własność, przysługującą pochodnym. Jeśli \(\displaystyle{ f: P \to \mathbb{R}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest przedziałem, jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) , to jej pochodna \(\displaystyle{ f' : P \to \mathbb{R}}\) jest funkcją ciągłą. Zatem jako funkcja ciągła ma ona własność Darboux, tzn. dla dowolonych punktów \(\displaystyle{ x_1 , x_2 \in P , x_1 < x_2}\) i dla dowolonej liczby \(\displaystyle{ \lambda}\) leżącej pomiędzy \(\displaystyle{ f'(x_1) , f'(x_2)}\) istnieje taki argument \(\displaystyle{ x_0 \in \left( x_1, x_2\right)}\), że \(\displaystyle{ f'(x_0)=\lambda}\)... "
Co w tym takiego zaskakującego i w zasadzie co mówi mi ten fakt?
Z góry dziękie za pomoc!
Czytając jeden z podręczników do analizy natykam się na taki kawałek:
"... Dla przykładu udowodnimy ważną i nieco zaskakującą własność, przysługującą pochodnym. Jeśli \(\displaystyle{ f: P \to \mathbb{R}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest przedziałem, jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) , to jej pochodna \(\displaystyle{ f' : P \to \mathbb{R}}\) jest funkcją ciągłą. Zatem jako funkcja ciągła ma ona własność Darboux, tzn. dla dowolonych punktów \(\displaystyle{ x_1 , x_2 \in P , x_1 < x_2}\) i dla dowolonej liczby \(\displaystyle{ \lambda}\) leżącej pomiędzy \(\displaystyle{ f'(x_1) , f'(x_2)}\) istnieje taki argument \(\displaystyle{ x_0 \in \left( x_1, x_2\right)}\), że \(\displaystyle{ f'(x_0)=\lambda}\)... "
Co w tym takiego zaskakującego i w zasadzie co mówi mi ten fakt?
Z góry dziękie za pomoc!
twierdzenie Darboux dla pochodnych
Wszystko co ma być powiedziane masz w zacytowanej treści więc o co konkretnie pytasz?
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
twierdzenie Darboux dla pochodnych
Dużo rzeczy jest zaskakujących np:
Dla mnie w Twoim fakcie nie ma nic szokującego, może autor niedawno się dowiedział o tym, że tak jest?
Fakt ten jest zaskakujący, prawda? Napiszesz czemu?Pytanie stawiane w paradoksie dnia urodzin brzmi: Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 0,5.
Dla mnie w Twoim fakcie nie ma nic szokującego, może autor niedawno się dowiedział o tym, że tak jest?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
twierdzenie Darboux dla pochodnych
Zaskakujące jest nazwanie tego "faktem dotyczącym pochodnych". Jest to fakt dotyczący funkcji ciągłych, a w tym wypadku jest po prostu założone, że pochodna jest funkcją ciągłą.
Za to zaskakującym faktem może być to, że pochodne mają własność przyjmowania wartości pośrednich nawet wtedy, gdy nie są ciągłe.
Za to zaskakującym faktem może być to, że pochodne mają własność przyjmowania wartości pośrednich nawet wtedy, gdy nie są ciągłe.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
twierdzenie Darboux dla pochodnych
Tak to po prostu autor określił. Średnio trafnie. Ale takie jest określenie, nie a co myślęc nad tym
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
twierdzenie Darboux dla pochodnych
norwimaj, nie nie. Chodzi tu definitywnie o właność Darboux. Mniejsza o to, czy jest to zaskakujące czy też nie : ) Mógłbyś rozwinąc myśl z poprzedniego posta i powiedzieć jak to możliwe, że mimo, że pochodna może nie być ciągła to nadal mimo wsyzstko przyjmuje wszystkie wartości pośrednie?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
twierdzenie Darboux dla pochodnych
Standardowym przykładem na to, że pochodna może nie być ciągła, jest
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin x&\text{dla }x\in\RR\setminus\{0\}\\0&\text{dla }x=0.\end{cases}}\)
Żeby udowodnić własność Darboux pochodnych, można najpierw pokazać, że istnieje iloraz różnicowy funkcji \(\displaystyle{ f}\) o wartości \(\displaystyle{ \lambda}\), a następnie skorzystać z tw. Lagrange'a. Można chyba też to udowodnić jakimś krótszym sposobem, ale nie pamiętam jak.
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin x&\text{dla }x\in\RR\setminus\{0\}\\0&\text{dla }x=0.\end{cases}}\)
Żeby udowodnić własność Darboux pochodnych, można najpierw pokazać, że istnieje iloraz różnicowy funkcji \(\displaystyle{ f}\) o wartości \(\displaystyle{ \lambda}\), a następnie skorzystać z tw. Lagrange'a. Można chyba też to udowodnić jakimś krótszym sposobem, ale nie pamiętam jak.
-
- Użytkownik
- Posty: 22206
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: twierdzenie Darboux dla pochodnych
Odkopię ten wątek w ramach ćwiczeń z archeologii.
Oczywiśćie w przykładzie powyżej powinno być \(\displaystyle{ x^2\sin \frac{1}{x}}\).
Proszę udowodnić fakt, o którym tu mowa:
Jeżeli `f:[a,b]\to\RR` jest różniczkowalna, to jej pochodna ma własność Darboux
Oczywiśćie w przykładzie powyżej powinno być \(\displaystyle{ x^2\sin \frac{1}{x}}\).
Proszę udowodnić fakt, o którym tu mowa:
Jeżeli `f:[a,b]\to\RR` jest różniczkowalna, to jej pochodna ma własność Darboux