wyznaczanie ekstremum lokalnego

magda427 · Post autor: **magda427** » 10 gru 2012, o 22:14

\(\displaystyle{ f(x)= -x ^{4}+2x ^{2} +1}\)
mam problem z wyznaczeniem ekstremum. Ogólnie mniej więcej wiem jak to się robi
pochodna wychodzi mi \(\displaystyle{ -4x ^{3}+4x}\)
no i dalej f'(x)=0 czyli \(\displaystyle{ -4x ^{3}+4x =0}\)
\(\displaystyle{ -4x ^{3}+4x =0}\) dzielę przez -4 i zosatje mi
\(\displaystyle{ x ^{3} - x=0}\)
\(\displaystyle{ x(x ^{2} -1)=0}\)
czyli \(\displaystyle{ x=0 \wedge x= -1 \wedge x=1}\)
i nie wiem co dalej

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 gru 2012, o 22:19

Pochodna \(\displaystyle{ >0}\) - rozwiązać.

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 10 gru 2012, o 22:21

Narysuj sobie wykres i odczytaj.

magda427 · Post autor: **magda427** » 10 gru 2012, o 22:24

dlaczego tak? bo nie rozumiem ;/-- 10 gru 2012, o 22:26 --

piasek101 pisze:Pochodna \(\displaystyle{ >0}\) - rozwiązać.

dlaczego tak?

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 10 gru 2012, o 22:30

No bo musisz wiedzieć kiedy pochodna jest mniejsza/większa od zera aby wyznaczyć ekstrema.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 gru 2012, o 22:30

No bo tak - sprawdzisz czy w otrzymanych rozwiązaniach pochodna zmienia swój znak.

Jeśli zmienia (a zmienia) to masz x-sy ekstremów lokalnych.

magda427 · Post autor: **magda427** » 10 gru 2012, o 22:43

no dobra wiem, że ekstrema są wtedy jak się zmienia znak i wiem też że pochodna musi się zerować żeby one występowały. czyli mam to co zapisałam na początku ;
czyli \(\displaystyle{ -4x ^{3}+4x =0}\)
\(\displaystyle{ -4x ^{3}+4x =0}\)dzielę przez -4 i zosatje mi
\(\displaystyle{ x ^{3} - x=0}\)
\(\displaystyle{ x(x ^{2} -1)=0}\)
\(\displaystyle{ czyli x=0 \wedge x= -1 \wedge x=1}\)
możecie mi to jakoś rozpisać
bardzo proszę

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 gru 2012, o 22:48

\(\displaystyle{ x(x^2-1)>0}\) gdy \(\displaystyle{ x\in(-1;0)\cup (1; +\infty)}\)

\(\displaystyle{ x(x^2-1)<0}\) dla pozostałych (z wyłączeniem 0; 1; -1 ow'kors).

magda427 · Post autor: **magda427** » 10 gru 2012, o 23:10

to pewnie będzie głupie pytanie ale jjuż jest chyba zbyt późna godzina że tego nie rozumiem;/ skąd wiem, ze w tych przedziałąch akurat jest większe.

Koryfeusz · Post autor: **Koryfeusz** » 10 gru 2012, o 23:59

Oblicz sobie wartość drugiej pochodnej tej funkcji we wszystkich trzech miejscach zerowych pierwszej pochodnej i sprawdź jej znak korzystając z odpowiedniego twierdzenia. Wtedy nie będziesz musiał męczyć się rozpracowując jaki znak ma pierwsza pochodna w tych przedziałach...

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 11 gru 2012, o 08:56

Ostatecznie można też policzyć z warunków związanych z drugą pochodną:

\(\displaystyle{ x_o \ \ maksimum \ \ \Rightarrow f''(x_o) <0}\)
\(\displaystyle{ x_o \ \ minimum \ \ \Rightarrow f''(x_o) >0}\)

magda427 · Post autor: **magda427** » 11 gru 2012, o 16:24

ok, czyli wyjdzie ze
\(\displaystyle{ max lokalne = -8}\)
\(\displaystyle{ min lokalne= 4}\)
i \(\displaystyle{ max lokalne = 0}\)
tak?

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 11 gru 2012, o 16:36

Powinny wyjść dwa maksima globalne równe 2 i minimum lokalne równe 1.

magda427 · Post autor: **magda427** » 11 gru 2012, o 16:39

no fakt, wiem gdzie zrobiłam błąd
dzięki za pomoc

-- 12 gru 2012, o 21:48 --

jednak chyba nie wiem jak to trzeba robić tzn. mam problem cały czas z ustaleniem czy w jakich przedziałach pochodna będzie dodatnia a w jakich ujemna. Skąd mam wiedzieć czy zaczynam rysować wykres od góry (+) czy od dołu (-) to zależy od znaku przy wzorze funkcji? tak łopatologicznie to poproszę bo niby wiem o co chodzi a niby nie ;/

-- 12 gru 2012, o 21:52 --

jak mam np. funkcję
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x ^{2} }{x ^{2} +1}}\)
to czy tu będzie w ogóle ekstremum? i jak wyznaczyć potem przedziały monotoniczność?-- 13 gru 2012, o 23:14 --pomoże ktoś?